Le condensateur réel : capacitif, puis résistif, puis inductif

La stratégie. Un composant réel est un modèle, et la nature d'un dipôle (capacitif ou inductif) se lit sur le signe de la partie imaginaire de son impédance. On écrit l'impédance, on cherche où cette partie imaginaire change de signe, et l'on chiffre.

1) Le modèle idéal. $|{\underline{Z}}_C|=1/(C\omega )$ tend vers l'infini en continu : le condensateur est un interrupteur ouvert, l'alimentation continue n'est pas court-circuitée. En haute fréquence, $|{\underline{Z}}_C|$ tend vers zéro : le condensateur est un fil pour les parasites, qui s'écoulent vers la masse au lieu d'atteindre la puce. Le composant trie les fréquences : c'est déjà un filtre.

2) Le modèle réel. Les trois éléments sont en série, leurs impédances s'additionnent :

$$\underline{Z}=r_s+j\left(\ell \omega -\frac{1}{C\omega }\right).$$

On reconnaît exactement l'impédance d'un RLC série. Sa partie imaginaire est négative tant que $\ell \omega <1/(C\omega )$ : le composant est capacitif. Elle s'annule pour ${\omega }_r=1/\sqrt{\ell C}$, puis devient positive : au-delà, le « condensateur » est inductif. Numériquement,

$$f_r=\frac{1}{2\pi \sqrt{2,0\times 10^{-9}\times 1,0\times 10^{-7}}}=11,3\mathrm{MHz},|\underline{Z}(f_r)|=r_s=30\mathrm{m\Omega }.$$

À $f_r$, le composant n'est plus qu'une petite résistance : c'est là qu'il découple le mieux.

3) De part et d'autre. À $1\mathrm{MHz}$ : $1/(C\omega )=1,59\Omega$, $\ell \omega =0,013\Omega$, donc $|\underline{Z}|=1,58\Omega$ et $\arg \underline{Z}=-88,9^{\circ }$ : c'est un condensateur presque parfait. À $100\mathrm{MHz}$ : $\ell \omega =1,26\Omega$, $1/(C\omega )=0,016\Omega$, donc $|\underline{Z}|=1,24\Omega$ et $\arg \underline{Z}=+88,6^{\circ }$ : c'est une bobine, dont l'impédance croît avec la fréquence. Au-delà de quelques dizaines de mégahertz, le condensateur de $100\mathrm{nF}$ ne découple plus mieux qu'un fil de quelques nanohenrys.

4) L'association en parallèle. Avec la même inductance de $2\mathrm{nH}$, la fréquence $f_r=1/(2\pi \sqrt{\ell C})$ vaut $1,1\mathrm{MHz}$ pour $10\mu \mathrm{F}$, $11\mathrm{MHz}$ pour $100\mathrm{nF}$ et $113\mathrm{MHz}$ pour $1\mathrm{nF}$. En parallèle, les admittances s'ajoutent, et c'est l'élément de plus faible impédance qui l'emporte à chaque fréquence : le gros condensateur tient les basses fréquences, le petit prend le relais là où le gros est devenu inductif. On obtient une impédance faible sur trois décades. (Entre deux de ces fréquences, une branche devenue inductive en parallèle avec une branche encore capacitive forme un circuit bouchon et l'impédance y présente un maximum ; les concepteurs le savent et le maîtrisent.)

5) Au plus près de la puce. Avec $\ell =12\mathrm{nH}$, $f_r=1/(2\pi \sqrt{1,2\times 10^{-8}\times 10^{-7}})=4,6\mathrm{MHz}$ : la frontière entre capacitif et inductif recule d'un facteur $2,4$ (le facteur $\sqrt{12/2}$), et toute la gamme de quelques mégahertz à cent mégahertz, celle des parasites de commutation, n'est plus découplée. La règle des électroniciens, « au plus près de la puce », est une règle sur l'inductance des connexions.

Ce que l'exercice installe. Un dipôle change de nature avec la fréquence, et cela se lit sur le signe de $\mathrm{Im}\underline{Z}$. Un condensateur réel est un RLC série dont la « résonance » est un minimum d'impédance utile. Et l'ordre de grandeur à garder : quelques nanohenrys par centimètre de conducteur, qui comptent dès le mégahertz.