Sélectivité contre lenteur : le quartz de montre

La stratégie. Le chapitre précédent a lié le facteur de qualité à la durée du régime libre ; ce chapitre le lie à la largeur de la résonance. On fait se rencontrer les deux, sur un objet où les ordres de grandeur sont extrêmes.

1) Le choix de $2^{15}$ et l'inductance. Un compteur binaire divise une fréquence par deux à chaque étage : quinze étages font passer de $32768\mathrm{Hz}$ à exactement $1\mathrm{Hz}$, le battement de la trotteuse. Puis $L_1=\frac{1}{{\omega }_0^2{C}_1}=\frac{1}{(2\pi \times 32768{)}^2\times 3,0\times 10^{-15}}=7,9\times 10^3\mathrm{H}$. Près de huit mille henrys : aucune bobine de cette taille ne tiendrait dans une montre, ni même sur une paillasse. C'est une inductance équivalente : elle traduit l'inertie mécanique du diapason vibrant, couplée au circuit par la piézoélectricité. Le modèle électrique est une analogie, la même que celle qui associe l'inductance à la masse dans l'étude des oscillateurs.

2) Le facteur de qualité. $Q=\frac{L_1{\omega }_0}{R_1}=\frac{7,9\times 10^3\times 2,06\times 10^5}{3,0\times 10^4}=5,4\times 10^4$, d'où $\Delta f=f_0/Q=0,61\mathrm{Hz}$. La résonance a une largeur de six dixièmes de hertz sur trente-deux kilohertz. Un circuit LC de $Q=100$ aurait une bande passante de $328\mathrm{Hz}$, plus de cinq cents fois plus large.

3) La durée des transitoires. Pour le RLC série en régime libre faiblement amorti, l'enveloppe décroît en ${\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ avec

$$\tau =\frac{2L}{R}=\frac{2Q}{{\omega }_0},$$

puisque $Q=L{\omega }_0/R$. Pour le quartz, $\tau =2\times 7,9\times 10^3/3,0\times 10^4=0,52\mathrm{s}$ ; pour le circuit LC, $\tau =2\times 100/(2,06\times 10^5)=0,97\mathrm{ms}$. Or le régime forcé s'établit quand le transitoire s'est éteint, au bout de quelques $\tau$ : environ deux à trois secondes pour le quartz, quelques millisecondes pour le circuit LC.

4) La relation $\Delta \omega \cdot \tau =2$. Avec $\Delta \omega ={\omega }_0/Q$ et $\tau =2Q/{\omega }_0$ :

$$\Delta \omega \cdot \tau =\frac{{\omega }_0}{Q}\cdot \frac{2Q}{{\omega }_0}=2.$$

Le produit ne dépend ni de $L$, ni de $C$, ni de $R$. En une phrase : une résonance aiguë est une résonance lente ; on ne peut pas être à la fois très sélectif en fréquence et rapide à répondre. C'est la même raison physique : un oscillateur peu amorti « se souvient » longtemps de son état, et il lui faut longtemps pour se mettre au pas d'une excitation.

5) La dérive et le renversement. $20\times 10^{-6}\times 30\times 86400\mathrm{s}=52\mathrm{s}$ : moins d'une minute par mois. Pour une horloge, on ne veut transmettre aucune information, seulement une fréquence unique et stable : une résonance étroite fixe la fréquence de l'oscillateur que l'électronique entretient, et la lenteur de démarrage (une fraction de seconde à quelques secondes) est sans importance. La radio, au contraire, doit laisser passer une bande de fréquences qui porte le son ; et un récepteur qui mettrait des secondes à répondre ne suivrait pas la musique. Le même facteur de qualité est un défaut ou une qualité selon ce qu'on attend du circuit.

Ce que l'exercice installe. L'ordre de grandeur de la durée du régime transitoire selon le facteur de qualité, $\tau =2Q/{\omega }_0$, soit environ $Q/\pi$ périodes ; le lien entre réponse en fréquence et réponse temporelle, $\Delta \omega \cdot \tau =2$ ; et le réflexe de lire un modèle électrique équivalent comme une analogie, pas comme un composant à acheter.