Deux RC à la suite ne font pas le carré d'un RC

1) Le raisonnement naïf. Une cellule seule, à vide, est un diviseur de tension : ${\underline{H}}_0=\frac{1/(jC\omega )}{R+1/(jC\omega )}=\frac{1}{1+jx}$. Si les fonctions de transfert se multipliaient, on aurait ${\underline{H}}_0^2=\frac{1}{(1+jx{)}^2}=\frac{1}{1-x^2+2jx}$.

2) Le vrai calcul. Ce qu'on a le droit d'utiliser : la seconde cellule est à vide, donc elle forme à elle seule un diviseur de tension alimenté par $v_A$ : ${\underline{u}}_s=\frac{{\underline{v}}_A}{1+jx}$, c'est-à-dire ${\underline{v}}_A=(1+jx){\underline{u}}_s$. Mais la première cellule n'est pas à vide : un courant part de $A$ vers la seconde cellule.

La loi des nœuds en $A$. Le courant qui arrive par la première résistance, $\frac{{\underline{u}}_e-{\underline{v}}_A}{R}$, se partage entre le premier condensateur, $jC\omega {\underline{v}}_A$, et la seconde résistance, $\frac{{\underline{v}}_A-{\underline{u}}_s}{R}$ :

$$\frac{{\underline{u}}_e-{\underline{v}}_A}{R}=jC\omega {\underline{v}}_A+\frac{{\underline{v}}_A-{\underline{u}}_s}{R}.$$

En multipliant par $R$ : ${\underline{u}}_e={\underline{v}}_A(2+jx)-{\underline{u}}_s$. On remplace ${\underline{v}}_A$ :

$$\begin{array}{rl}{\underline{u}}_e& =\left[(1+jx)(2+jx)-1\right]{\underline{u}}_s\\ & =\left(1-x^2+3jx\right){\underline{u}}_s,\end{array}$$

d'où $\frac{1}{\underline{H}}=1-x^2+3jx$.

3) La comparaison. Aux extrémités, les deux expressions coïncident : $\underline{H}\to 1$ en basse fréquence (tous les condensateurs sont ouverts, aucun courant, la sortie vaut l'entrée) ; $|\underline{H}|\sim \frac{1}{x^2}$ en haute fréquence ($-40\mathrm{dB}$ par décade dans les deux cas). C'est au milieu qu'elles diffèrent. En $x=1$ : $|\underline{H}|=\frac{1}{|3j|}=\frac{1}{3}$, alors que $|{\underline{H}}_0^2|=\frac{1}{2}$.

Les coupures. Pour le produit, $|1+jx{|}^4=2$ donne $x^2=\sqrt{2}-1$, soit $x=0,644$. Pour la cascade réelle, $(1-x^2{)}^2+9x^2=2$ s'écrit $x^4+7x^2-1=0$, d'où $x^2=\frac{-7+\sqrt{53}}{2}$ et $x=0,374$. La bande passante réelle est presque deux fois plus étroite que prévu.

L'interprétation. La seconde cellule charge la première : elle lui soutire un courant, si bien que ${\underline{v}}_A$ n'est plus la tension de sortie à vide de la première cellule. L'impédance d'entrée de la seconde cellule, $R+\frac{1}{jC\omega }$, n'est pas grande devant l'impédance de sortie de la première, $R\parallel C$ : elles sont du même ordre.

4) Un second étage de haute impédance. La seconde cellule a même constante de temps ($kR\cdot C/k=RC$), donc à vide toujours ${\underline{v}}_A=(1+jx){\underline{u}}_s$. La loi des nœuds en $A$ devient

$$\frac{{\underline{u}}_e-{\underline{v}}_A}{R}=jC\omega {\underline{v}}_A+\frac{{\underline{v}}_A-{\underline{u}}_s}{kR}.$$

En multipliant par $R$, et en remarquant que ${\underline{v}}_A-{\underline{u}}_s=jx{\underline{u}}_s$ : ${\underline{u}}_e=(1+jx){\underline{v}}_A+\frac{jx}{k}{\underline{u}}_s=\left[(1+jx{)}^2+\frac{jx}{k}\right]{\underline{u}}_s$, soit

$$\frac{1}{\underline{H}}=1-x^2+jx\left(2+\frac{1}{k}\right).$$

Vérification : $k=1$ redonne $3jx$. Les valeurs numériques :

Quand $k\to \infty$, le terme $\frac{1}{k}$ disparaît et l'on retrouve exactement ${\underline{H}}_0^2$ : le second étage ne prélève plus de courant. Dès $k=10$, l'erreur sur le gain en $x=1$ est inférieure à 5 %.

5) L'étage tampon. Son impédance d'entrée infinie ne prélève aucun courant en $A$ : la première cellule fonctionne à vide, ${\underline{v}}_A={\underline{H}}_0{\underline{u}}_e$. Son impédance de sortie nulle impose ${\underline{v}}_A$ à l'entrée de la seconde, quel que soit son courant ; celle-ci, à vide, donne ${\underline{u}}_s={\underline{H}}_0{\underline{v}}_A$. Donc $\underline{H}={\underline{H}}_0^2$, exactement.

La règle. Deux étages en cascade : leurs fonctions de transfert se multiplient si l'impédance d'entrée de chaque étage est grande devant l'impédance de sortie de l'étage qui le précède, sur toute la bande de fréquences utile. Sinon, on calcule l'ensemble comme un seul circuit.

Ce que l'exercice installe. Une fonction de transfert est définie dans des conditions de charge précises (ici, à vide) ; brancher quelque chose à la sortie change le filtre. La loi des nœuds en termes de potentiels est l'outil pour traiter un réseau à plusieurs mailles sans s'y perdre. Et la mise en cascade se juge en comparant des impédances.