La nature d'un filtre sans calcul

La méthode. En régime sinusoïdal, l'impédance d'un condensateur est $\frac{1}{jC\omega }$ : son module tend vers l'infini quand $\omega \to 0$ (le condensateur est un interrupteur ouvert en basse fréquence) et vers zéro quand $\omega \to \infty$ (c'est un fil en haute fréquence). Celle d'une bobine, $jL\omega$, fait l'inverse : fil en basse fréquence, interrupteur ouvert en haute fréquence. On remplace, on lit le circuit obtenu, et l'on conclut.

1) Les comportements limites.

Très basse fréquence. Le condensateur est ouvert : aucun courant ne circule dans la maille. La tension aux bornes de $R$ est nulle, celle aux bornes de la bobine aussi (un fil sans courant), et toute la tension d'entrée se retrouve aux bornes du condensateur. Donc $u_C\to u_e$, $u_R\to 0$, $u_L\to 0$.

Très haute fréquence. La bobine est ouverte : de nouveau aucun courant. Cette fois toute la tension d'entrée est aux bornes de la bobine : $u_L\to u_e$, $u_R\to 0$, $u_C\to 0$ (le condensateur est un fil).

Conclusion. (a) sortie sur $C$ : passe-bas ; (b) sortie sur $R$ : nulle aux deux extrémités, donc passe-bande ; (c) sortie sur $L$ : passe-haut.

2) Les pentes. On cherche la loi de puissance de $|\underline{H}|$ aux extrémités. En basse fréquence, le courant est imposé par le condensateur, dont l'impédance domine : $|\underline{I}|\simeq C\omega |{\underline{U}}_e|$. Donc $|u_R|\simeq RC\omega |u_e|$, proportionnel à $\omega$ : pente $+20\mathrm{dB}$ par décade ; et $|u_L|\simeq LC{\omega }^2|u_e|=x^2|u_e|$ : pente $+40\mathrm{dB}$ par décade. En haute fréquence, c'est la bobine qui impose le courant : $|\underline{I}|\simeq \frac{|{\underline{U}}_e|}{L\omega }$. Donc $|u_R|\simeq \frac{R}{L\omega }|u_e|$ (pente $-20$) et $|u_C|\simeq \frac{1}{LC{\omega }^2}|u_e|=\frac{1}{x^2}|u_e|$ (pente $-40$).

3) Les fonctions de transfert. Le diviseur de tension donne, avec $\underline{Z}=R+jL\omega +\frac{1}{jC\omega }$ :

$${\underline{H}}_C=\frac{1/(jC\omega )}{\underline{Z}}=\frac{1}{1-LC{\omega }^2+jRC\omega }.$$

Or $LC{\omega }^2=x^2$ et $RC\omega =RC{\omega }_{0}x=\frac{x}{Q}$, puisque $RC{\omega }_0=R\sqrt{C/L}=1/Q$. D'où, en multipliant de même numérateur et dénominateur par $jC\omega$ pour les deux autres :

$${\underline{H}}_C=\frac{1}{1-x^2+j\frac{x}{Q}},{\underline{H}}_R=\frac{j\frac{x}{Q}}{1-x^2+j\frac{x}{Q}},{\underline{H}}_L=\frac{-x^2}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}.$$

Vérification. Quand $x\to 0$ : ${\underline{H}}_C\to 1$, ${\underline{H}}_R\sim j\frac{x}{Q}$, ${\underline{H}}_L\sim -x^2$. Quand $x\to \infty$ : ${\underline{H}}_C\sim -\frac{1}{x^2}$, ${\underline{H}}_R\sim -\frac{j}{Qx}$, ${\underline{H}}_L\to 1$. On retrouve exactement les natures et les pentes des questions 1 et 2.

La somme. Les trois numérateurs s'additionnent en $1-x^2+j\frac{x}{Q}$, égal au dénominateur commun : ${\underline{H}}_C+{\underline{H}}_R+{\underline{H}}_L=1$. Ce n'est pas un hasard : c'est la loi des mailles, $u_C+u_R+u_L=u_e$, écrite en complexes. Elle fournit un contrôle immédiat de tout calcul de ce type.

Remarque : avec un seul condensateur, $\underline{H}$ est un quotient de polynômes de degré 1 en $j\omega$ et la pente ne peut dépasser $20\mathrm{dB}$ par décade ; $\pm 40$ exige deux éléments réactifs. L'ordre se lit sur le nombre d'éléments réactifs, la pente maximale sur l'ordre.

Ce que l'exercice installe. Avant toute équation : remplacer $C$ et $L$ par des fils ou des coupures pour obtenir la nature du filtre, puis chercher la loi de puissance du gain aux extrémités pour obtenir les pentes. Le calcul complet vient ensuite, et il se vérifie sur ces limites — ainsi que sur la loi des mailles quand plusieurs sorties sont prises sur le même circuit.