Linéaire ou non ? Lire un spectre de sortie

1) Le filtre linéaire. Par superposition, la sortie est la somme des réponses à chaque cosinus, et chacune est une sinusoïde de même fréquence. Le spectre de sortie ne contient que $1,0$ et $1,2\mathrm{kHz}$, avec des amplitudes et des phases modifiées. Aucune autre fréquence, quel que soit le filtre.

2) Le terme quadratique. Avec $a=2\pi f_{1}t$ et $b=2\pi f_{2}t$ : $$u^2={\cos }^{2}a+{\cos }^{2}b+2\cos a\cos b=1+\frac{1}{2}\cos 2a+\frac{1}{2}\cos 2b+\cos (a+b)+\cos (a-b).$$ En multipliant par $0,1$ et en ajoutant $u$, le spectre de $s$ est :

Sont apparus : une composante continue, les harmoniques 2 de chaque note ($2f_1$, $2f_2$) et les fréquences de combinaison $f_1+f_2$ et $f_2-f_1$. Une transformée de Fourier numérique de $s$ redonne ces sept raies.

3) Le terme cubique. Les identités. $\cos 3a=4{\cos }^{3}a-3\cos a$ donne ${\cos }^{3}a=\frac{3}{4}\cos a+\frac{1}{4}\cos 3a$. Et ${\cos }^{2}a\cos b=\frac{1+\cos 2a}{2}\cos b=\frac{1}{2}\cos b+\frac{1}{4}\cos (2a+b)+\frac{1}{4}\cos (2a-b)$.

Le développement. $u^3={\cos }^{3}a+{\cos }^{3}b+3{\cos }^{2}a\cos b+3\cos a{\cos }^{2}b$, d'où, en regroupant : $$\begin{array}{rl}{u}^3=& \frac{9}{4}\cos a+\frac{9}{4}\cos b+\frac{1}{4}\cos 3a+\frac{1}{4}\cos 3b\\ & +\frac{3}{4}\left[\cos (2a+b)+\cos (2a-b)+\cos (2b+a)+\cos (2b-a)\right].\end{array}$$ Multiplié par $-0,05$ et ajouté à $u$ :

(Les raies de combinaison sont en $\cos$ avec un signe moins ; on donne leurs amplitudes.) Un dispositif symétrique ($s(-u)=-s(u)$) ne crée que des combinaisons impaires : $3f_1$, $2f_1\pm f_2$… Ni continu, ni harmonique 2, ni $f_2-f_1$ : la symétrie se lit sur le spectre.

4) Les plus gênantes. Les harmoniques $3f_1$, $3f_2$ sont musicalement apparentées aux notes (une douzième au-dessus) et l'oreille les tolère : elles enrichissent le timbre — c'est le son de la pédale de distorsion. En revanche, les produits d'intermodulation $2f_1-f_2=800\mathrm{Hz}$ et $2f_2-f_1=1,4\mathrm{kHz}$ n'ont aucun rapport harmonique simple avec les notes, et ils tombent juste à côté d'elles, au milieu de la bande utile. Aucun filtre placé après ne peut les éliminer sans éliminer aussi les notes. La non-linéarité se combat à la source, pas après coup.

Les notes elles-mêmes passent de $1,00$ à $0,8875\mathrm{V}$ : le dispositif comprime — le gain apparent dépend de l'amplitude, ce qui est impossible pour un système linéaire.

5) Le test de linéarité. On envoie une sinusoïde pure (ou deux, pour voir l'intermodulation) et l'on observe le spectre de sortie à l'analyseur de spectre ou par transformée de Fourier à l'oscilloscope numérique. Toute raie absente de l'entrée prouve la non-linéarité ; son amplitude la mesure. Doubler l'entrée et vérifier que la sortie double détecte en outre la compression.

Ce que l'exercice installe. Le critère du cours, en acte : un système linéaire ne crée aucune fréquence. Et une lecture fine : les raies créées racontent la non-linéarité (paires pour un défaut dissymétrique, impaires pour un écrêtage symétrique), et celles qui tombent dans la bande utile sont irrécupérables.