Lisser une tension redressée : quel ordre ?

La stratégie. Le filtre est linéaire : il traite chaque raie séparément. Le continu doit passer, la raie à $100\mathrm{Hz}$ doit être réduite ; le cahier des charges devient une condition sur le gain à une fréquence, qu'on traduit en contrainte sur la coupure.

1) Le gain exigé. En continu, $G=1$ : la sortie continue vaut $10,8\mathrm{V}$. Il faut que la raie à $100\mathrm{Hz}$ ressorte avec une amplitude inférieure à $0,108\mathrm{V}$, donc $$G(100\mathrm{Hz})\le \frac{0,01\times 10,8}{7,22}=0,0150,$$ soit $-36,5\mathrm{dB}$.

2) L'ordre 1. Il faut $\frac{1}{\sqrt{1+(100/f_c{)}^2}}\le 0,0150$, soit $\frac{100}{f_c}\ge \sqrt{1/0,015^2-1}\approx 66,7$ : $$f_c\le 1,50\mathrm{Hz}.$$ On est à presque deux décades sous la fréquence à éliminer : à $-20\mathrm{dB}$ par décade, il faut descendre de $36,5\mathrm{dB}$, soit $1,8$ décade.

3) L'ordre 2. Il faut $\frac{1}{\sqrt{1+(100/f_0{)}^4}}\le 0,0150$, soit ${\left(\frac{100}{f_0}\right)}^2\ge 66,7$ : $$f_0\le 12,2\mathrm{Hz}.$$ À $-40\mathrm{dB}$ par décade, $0,9$ décade suffit. Le choix $Q=1/\sqrt{2}$ donne le gain le plus plat, sans bosse de résonance.

La raie à $200\mathrm{Hz}$ ($1,44\mathrm{V}$ en entrée) : avec l'ordre 1, gain $\simeq 1,50/200$, il reste $11\mathrm{mV}$ ; avec l'ordre 2, gain $\simeq (12,2/200{)}^2$, il reste $5\mathrm{mV}$. Les raies supérieures sont donc négligeables dans les deux cas : le cahier des charges portait à juste titre sur la seule raie à $100\mathrm{Hz}$.

4) Le RC, et ce qu'il coûte. $R=\frac{1}{2\pi f_{c}C}=\frac{1}{2\pi \times 1,50\times 10^{-3}}\approx 106\Omega$.

Mais la charge est branchée en parallèle sur $C$. En continu, $C$ est ouvert : il reste un diviseur de tension résistif entre $R$ et $R_u$, de rapport $$\frac{R_u}{R+R_u}=\frac{100}{206}\approx 0,49.$$ La charge ne reçoit plus que $5,2\mathrm{V}$ au lieu de $10,8$ : la moitié du continu est perdue, dissipée par effet Joule dans $R$. Et la coupure change aussi : vu du condensateur, le générateur de Thévenin équivalent a pour résistance $R\parallel R_u\approx 51\Omega$, d'où une coupure à $3,1\mathrm{Hz}$ ; l'ondulation relative remonte alors à $2,1\%$. Le cahier des charges n'est plus respecté. Le filtre RC a été dimensionné « à vide » ; chargé, c'est un autre filtre.

5) Le LC, ou « self de filtrage ». On identifie $\underline{H}$ à la forme canonique du passe-bas d'ordre 2, $\frac{1}{1-x^2+jx/Q}$ avec $x=\omega /{\omega }_0$ : $LC{\omega }^2=x^2$ impose ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$, et $\frac{L\omega }{R_u}=\frac{x}{Q}$ impose $\frac{L{\omega }_0}{R_u}=\frac{1}{Q}$, soit $Q=\frac{R_u}{L{\omega }_0}=R_u\sqrt{\frac{C}{L}}$. Avec ${\omega }_0=2\pi \times 12,2\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $Q=1/\sqrt{2}$ : $$C=\frac{Q}{R_u{\omega }_0}\approx 92\mu \mathrm{F},L=\frac{1}{C{\omega }_0^2}\approx 1,84\mathrm{H}.$$ Homogénéité : $R_u\sqrt{C/L}$ est sans dimension, puisque $\sqrt{L/C}$ est une impédance.

Le continu. En continu, la bobine est un fil : aucune chute de tension, $\underline{H}(0)=1$, la charge reçoit les $10,8\mathrm{V}$ intégralement (au défaut près de la résistance du fil de la bobine, quelques ohms). La bobine laisse passer le continu sans perte et s'oppose aux variations : c'est exactement ce que la résistance ne savait pas faire. Ordre de grandeur : près de deux henrys exigent un noyau de fer : c'est la lourde « self de filtrage » des alimentations d'autrefois.

Ce que l'exercice installe. Un cahier des charges se traduit en gain exigé à une fréquence, puis en coupure, et l'ordre du filtre se choisit sur la pente nécessaire. Et un filtre se dimensionne avec sa charge : la résistance d'un RC dissipe le continu, la bobine d'un LC le laisse passer. On retrouvera cette leçon à l'exercice 8.