Où est la puissance dans le spectre ?

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition de la valeur efficace comme racine de la moyenne du carré, et la formule de « Parseval » du cours, qui dit que les puissances des raies s'additionnent. La stratégie de tout l'exercice est de calculer chaque grandeur de deux façons — dans le temps, puis dans le spectre — et de lire ce que la comparaison apprend.

1) Le secteur. Pour une sinusoïde d'amplitude $U_m$, $⟨u^2⟩=U_m^2⟨{\cos }^2⟩=U_m^2/2$, donc $U_{\mathrm{eff}}=U_m/\sqrt{2}$ et $$U_m=230\sqrt{2}\approx 325\mathrm{V}.$$ La puissance instantanée reçue par la résistance est $p(t)=u^2(t)/R$ ; sa moyenne est $⟨u^2⟩/R=U_{\mathrm{eff}}^2/R$. C'est précisément pour cela que la valeur efficace est définie ainsi : elle est la tension continue qui produirait le même effet Joule. Une tension continue de $230\mathrm{V}$ chauffe donc exactement autant que le secteur — mais pas une tension continue de $325\mathrm{V}$, qui chaufferait deux fois plus. Ordre de grandeur : une bouilloire de $2\mathrm{kW}$ a une résistance $R=U_{\mathrm{eff}}^2/P\approx 26\Omega$.

2) Le créneau, dans le temps. Le signal passe autant de temps à $+A$ qu'à $-A$ : $⟨s⟩=0$. Son carré vaut $A^2$ à chaque instant : $⟨s^2⟩=A^2$ et $S_{\mathrm{eff}}=A$. Il passe tout son temps au maximum, contrairement à une sinusoïde.

Le créneau, dans le spectre. La raie $n$ a pour amplitude $\frac{4A}{\pi n}$, donc pour valeur efficace $\frac{4A}{\pi n\sqrt{2}}$, et pour « puissance » $\frac{1}{2}{\left(\frac{4A}{\pi n}\right)}^2=\frac{8A^2}{{\pi }^2{n}^2}$. En sommant sur les $n$ impairs : $$S_{\mathrm{eff}}^2=\frac{8A^2}{{\pi }^2}\sum _{n\text{impair}}\frac{1}{n^2}=\frac{8A^2}{{\pi }^2}\cdot \frac{{\pi }^2}{8}=A^2.$$ Les deux calculs concordent : c'est la vérification attendue (une somme numérique sur cent mille raies donne $0,999998A^2$).

La répartition. Le fondamental porte $\frac{8}{{\pi }^2}\approx 81,1\%$ de $⟨s^2⟩$. En ajoutant la raie 3 on atteint $90,1\%$ ; mais pour atteindre 99 %, il faut aller jusqu'à la raie 41, soit vingt et une raies. La puissance des harmoniques élevées est faible, mais c'est elle qui fabrique les fronts raides : un créneau aux fronts nets exige un spectre très étendu, et tout filtre qui coupe les hautes fréquences arrondit ses fronts.

3) La sinusoïde redressée, dans le temps. $|\sin |$ est de période $T/2$, où $T=2\pi /\omega$. Sur une demi-période, $$⟨u⟩=\frac{2}{T}{\int }_0^{T/2}U\sin (\omega t)\mathrm{d}t=\frac{2U}{T}\cdot \frac{2}{\omega }=\frac{2U}{\pi }\approx 0,637U.$$ Et comme $|\sin {|}^2={\sin }^2$, la valeur efficace n'a pas changé par le redressement : $U_{\mathrm{eff}}=U/\sqrt{2}\approx 0,707U$. Le redressement ne change pas l'effet Joule.

L'ondulation. La formule de Parseval appliquée à $u$ s'écrit $⟨u^2⟩=⟨u{⟩}^2+\sum (\text{raies alternatives})$ ; la somme des raies alternatives est donc la puissance de l'ondulation $u-⟨u⟩$ : $$U_{\mathrm{ond},\mathrm{eff}}^2=\frac{U^2}{2}-\frac{4U^2}{{\pi }^2}⟹U_{\mathrm{ond},\mathrm{eff}}=U\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{4}{{\pi }^2}}\approx 0,308U.$$ La raie de plus basse fréquence est celle de $k=1$, à la pulsation $2\omega$ : à $100\mathrm{Hz}$, et non à $50\mathrm{Hz}$ — le redressement a doublé la fréquence. Son amplitude est $\frac{4U}{3\pi }\approx 0,424U$ ; sa puissance $\frac{1}{2}(0,424U{)}^2=0,0901U^2$, à comparer à $U_{\mathrm{ond},\mathrm{eff}}^2=0,0947U^2$ : elle porte 95 % de la puissance de l'ondulation. La raie suivante, à $200\mathrm{Hz}$, n'a qu'une amplitude $\frac{4U}{15\pi }\approx 0,085U$.

Conséquence pratique, qui servira à l'exercice 4 : pour lisser cette tension, c'est la raie à $100\mathrm{Hz}$ qu'il faut viser ; les autres sont à la fois plus faibles et plus faciles à atténuer, car plus hautes en fréquence.

Ce que l'exercice installe. La valeur efficace est une puissance, et la puissance se répartit raie par raie : c'est ce qui permettra, dans tous les exercices suivants, de juger un filtrage en comparant les raies d'entrée et de sortie. Réflexe : vérifier un spectre fourni en recalculant la valeur efficace des deux façons.