Sismomètre et accéléromètre : un même filtre mécanique

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'équation est donnée (l'établir demanderait un référentiel non galiléen) ; on la lit comme un filtre : entrée $X$, sortie $z$.

1) La fonction de transfert. En régime sinusoïdal forcé, dériver par rapport au temps revient à multiplier par $j\omega$ : $\underline{\dot{z}}=j\omega \underline{Z}$, $\underline{\ddot{z}}=-{\omega }^2\underline{Z}$, $\underline{\ddot{X}}=-{\omega }^2\underline{X}$. L'équation devient $$\left(-{\omega }^2+j\frac{\omega {\omega }_0}{Q}+{\omega }_0^2\right)\underline{Z}={\omega }^2\underline{X},$$ et, en divisant par ${\omega }_0^2$ : $$\underline{H}=\frac{\underline{Z}}{\underline{X}}=\frac{x^2}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}.$$ Nature. En basse fréquence, $\underline{H}\simeq x^2\to 0$ ; en haute fréquence, $\underline{H}\to -1$, de module $1$. C'est un passe-haut d'ordre 2 pour le déplacement : asymptote de pente $+40\mathrm{dB}$ par décade en basse fréquence, asymptote horizontale à $0\mathrm{dB}$ en haute fréquence. Il n'est pas dans la liste des modèles du cours, mais sa fonction est donnée et se lit comme les autres.

2) Le sismomètre. Pour $x\gg 1$, $\underline{H}\simeq \frac{x^2}{-x^2}=-1$ : $z\simeq -X$. Le déplacement absolu de la masse, $X+z$, est alors nul : la masse reste immobile dans le référentiel terrestre, retenue par son inertie, tandis que le boîtier bouge autour d'elle. Le stylet lié à la masse trace alors fidèlement le mouvement du sol : c'est le principe du sismographe.

Les valeurs. Avec $Q=1/\sqrt{2}$, $(1-x^2{)}^2+\frac{x^2}{Q^2}=1-2x^2+x^4+2x^2=1+x^4$, d'où le résultat très simple $$|\underline{H}|=\frac{x^2}{\sqrt{1+x^4}}.$$ À $0,2\mathrm{Hz}$ : $|\underline{H}|=0,040$ ; à $1\mathrm{Hz}$ : $1/\sqrt{2}=0,707$ ; à $5\mathrm{Hz}$ : $0,9992$. Le capteur enregistre fidèlement les vibrations au-dessus de quelques hertz ; il est presque aveugle aux mouvements plus lents. Les ondes de surface des séismes lointains ont des périodes de l'ordre de la vingtaine de secondes : il faut alors $f_0\approx 0,03\mathrm{Hz}$, une période propre d'une trentaine de secondes. Un tel instrument enregistre à $99,6\%$ un mouvement de période $10\mathrm{s}$.

3) L'accéléromètre. Pour $x\ll 1$, $\underline{H}\simeq x^2$, c'est-à-dire $\underline{Z}\simeq \frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}\underline{X}=-\frac{\underline{\ddot{X}}}{{\omega }_0^2}$. Directement sur l'équation : un mouvement lent rend $\ddot{z}$ et $\dot{z}$ négligeables devant ${\omega }_0^{2}z$, et il reste ${\omega }_0^{2}z\simeq -\ddot{X}$. Le déplacement relatif est proportionnel à l'accélération du boîtier, quelle que soit sa fréquence pourvu qu'elle soit très inférieure à $f_0$.

L'ordre de grandeur. $$z=\frac{a}{{\omega }_0^2}=\frac{10}{(2\pi \times 5000{)}^2}\approx 1,0\times 10^{-8}\mathrm{m}=10\mathrm{nm}.$$ Dix nanomètres : une centaine de distances interatomiques, illisibles mécaniquement. Mais la masse porte des peignes de silicium imbriqués dans des peignes fixes, à un intervalle de l'ordre du micromètre : la capacité entre eux, inversement proportionnelle à l'écart, varie de l'ordre du pour cent, ce qui se mesure électriquement avec précision. D'où une détection capacitive.

4) L'erreur et le choix de $Q$. La réponse relative à l'accélération est $\frac{|\underline{H}|}{x^2}=\frac{1}{|1-x^2+jx/Q|}$, égale à $1$ pour un accéléromètre parfait. À $100\mathrm{Hz}$, $x=0,02$ et, avec $Q=1/\sqrt{2}$, elle vaut $\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}\simeq 1-\frac{x^4}{2}=1-8\times 10^{-8}$ : erreur parfaitement négligeable.

En $x=0,3$ (ici $1,5\mathrm{kHz}$) : avec $Q=1/\sqrt{2}$, $\frac{1}{\sqrt{1+0,3^4}}=0,996$, erreur de $0,4\%$ ; avec $Q=5$, $\frac{1}{\sqrt{(1-0,09{)}^2+(0,3/5{)}^2}}=1,097$, erreur de $10\%$. Un $Q$ élevé fait apparaître une résonance qui « gonfle » la réponse bien avant ${\omega }_0$. La valeur $Q=1/\sqrt{2}$ est celle pour laquelle la réponse reste la plus plate le plus longtemps : c'est le même choix qu'à l'exercice 4, et pour la même raison.

5) L'amortisseur. Pour le déplacement du châssis, la suspension est un passe-bas : le châssis suit les ondulations lentes, les secousses rapides sont filtrées. Le danger est la résonance. Avec $Q=1/\sqrt{2}$, l'amplitude du châssis à la résonance vaut $\sqrt{1,5}\approx 1,2$ fois celle de la route ; avec un amortisseur usé, $Q$ grandit, et pour $Q=5$ elle vaut $\sqrt{26}\approx 5,1$ fois celle de la route. Des bosses régulières (des ralentisseurs espacés de dix mètres franchis à $36\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$, soit $1\mathrm{Hz}$, de l'ordre de la fréquence propre d'une suspension de voiture) peuvent alors exciter le châssis à la résonance : les roues décollent, et la tenue de route est perdue.

Ce que l'exercice installe. Un filtre n'est pas une affaire de composants électriques : c'est une équation différentielle linéaire du second ordre, et l'on y retrouve ${\omega }_0$, $Q$, les asymptotes, la réponse plate pour $Q=1/\sqrt{2}$. Le même dispositif est un sismomètre au-dessus de sa résonance et un accéléromètre en dessous : c'est la zone de fonctionnement, lue sur les asymptotes, qui fait l'instrument.