Boussole : équilibre, oscillations, magnétomètre

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le couple $\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}$ (admis pour l'aimant par analogie avec le cadre), le théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe, $J\ddot{\theta }={\Gamma }_{\Delta }$ (vu en mécanique), et l'énergie potentielle. La stratégie : réduire au seul degré de liberté $\theta$, et traiter l'aiguille comme un pendule.

1) Seule la composante horizontale agit. Avec $\overrightarrow{B}={\overrightarrow{B}}_H+B_V{\overrightarrow{u}}_z$ ($\Delta$ selon ${\overrightarrow{u}}_z$), le moment par rapport à $\Delta$ est la composante verticale de $\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}$. Comme $\overrightarrow{m}$ est horizontal, $\overrightarrow{m}\wedge B_V{\overrightarrow{u}}_z$ est horizontal : sa composante verticale est nulle. Le champ vertical exerce un couple d'axe horizontal, équilibré par le pivot. Il reste ${\Gamma }_{\Delta }=(\overrightarrow{m}\wedge {\overrightarrow{B}}_H)\cdot {\overrightarrow{u}}_z=-m{B}_H\sin \theta$ (même calcul que pour le cadre). La boussole indique la direction de la composante horizontale du champ.

2) Énergie potentielle et équilibres. Avec $E_p(\theta )=-m{B}_H\cos \theta$, on a $-\frac{\mathrm{d}{E}_p}{\mathrm{d}\theta }=-m{B}_H\sin \theta ={\Gamma }_{\Delta }$ : la puissance du couple, ${\Gamma }_{\Delta }\dot{\theta }$, vaut $-\frac{\mathrm{d}{E}_p}{\mathrm{d}t}$. Les équilibres annulent le couple : $\theta =0$ ou $\theta =\pi$.

• $\theta =0$ : $\overrightarrow{m}$ parallèle à ${\overrightarrow{B}}_H$, $E_p$ minimale : équilibre stable, position de repos de la boussole.
• $\theta =\pi$ : $\overrightarrow{m}$ antiparallèle, $E_p$ maximale : équilibre instable.

3) Équation du mouvement. Système : l'aiguille, en rotation autour de l'axe fixe $\Delta$. Le poids (parallèle à l'axe) et la réaction du pivot sans frottement ont un moment nul par rapport à $\Delta$. Le théorème du moment cinétique par rapport à $\Delta$ donne $$J\ddot{\theta }=-m{B}_H\sin \theta ,$$ l'équation du pendule pesant. Pour de petits écarts, $\sin \theta \approx \theta$ : $$\ddot{\theta }+\frac{m{B}_H}{J}\theta =0,T=2\pi \sqrt{\frac{J}{m{B}_H}}.$$ Contrôle. Autour de $\theta =\pi$, avec $\theta =\pi +\epsilon$, on obtient $J\ddot{\epsilon }=+m{B}_H\epsilon$ : solutions exponentielles, instabilité confirmée. Homogénéité : $m{B}_H$ est un couple ($\mathrm{N}\mathrm{m}$), $J$ s'exprime en $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$, et $\mathrm{N}\mathrm{m}/(\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2)={\mathrm{s}}^{-2}$.

4) Le magnétomètre. Le champ total valant $B_H+B_1$ dans la seconde mesure, $${\left(\frac{T_0}{T_1}\right)}^2=\frac{B_H+B_1}{B_H}⟹B_H=\frac{B_1}{(T_0/T_1{)}^2-1}:$$ le rapport des périodes élimine $J/m$. Numériquement, $(1,60/1,01{)}^2\approx 2,51$ et $$B_H=\frac{3,0\times 10^{-5}}{2,51-1}\approx 2,0\times 10^{-5}\mathrm{T},$$ la valeur attendue en France. Le point délicat : $B_1$ doit être connu et uniforme dans tout le volume balayé par l'aiguille — ce que fournissent les bobines de Helmholtz du problème final.

5) Le moment de l'aiguille. $J=\frac{1}{12}\times 5\times 10^{-4}\times (0,03{)}^2\approx 3,8\times 10^{-8}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$, et $$m=\frac{4{\pi }^{2}J}{T_0^2{B}_H}=\frac{4{\pi }^2\times 3,75\times 10^{-8}}{1,60^2\times 1,99\times 10^{-5}}\approx 2,9\times 10^{-2}\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2.$$ Le volume de l'aiguille est $5\times 10^{-4}/7,87\times 10^3\approx 0,06\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$ ; saturée, elle aurait un moment d'environ $0,1\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2$. Elle est donc aimantée au quart environ de la saturation, une valeur raisonnable pour un acier. Le couple maximal, $m{B}_H\approx 6\times 10^{-7}\mathrm{N}\mathrm{m}$, est minuscule : d'où un pivot presque sans frottement.

6) Retournement et perturbations.

• Si ${\overrightarrow{B}}_1$ est opposé à ${\overrightarrow{B}}_H$ avec $B_1>B_H$, le champ horizontal total est retourné : la position de l'aiguille devient l'équilibre instable, et la moindre perturbation la fait pivoter d'un demi-tour. (Si $B_1$ est à peine inférieur à $B_H$, le champ total est faible et la période très longue.)
• Une masse de fer s'aimante dans le champ terrestre et crée son propre champ, qui s'ajoute au niveau de l'aiguille : le champ subi n'est plus celui qu'on veut mesurer.
• Le pôle Nord magnétique ne coïncide pas avec le pôle Nord géographique : l'angle entre ${\overrightarrow{B}}_H$ et le méridien géographique est la déclinaison, qui dépend du lieu et varie lentement (faible en France aujourd'hui, de l'ordre du degré).

Ce que l'exercice installe. Un aimant dans un champ uniforme est un pendule : $E_p=-\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B}$, stable parallèle, instable antiparallèle, période $2\pi \sqrt{J/(mB)}$. Et une méthode de mesure : deux mesures dans deux configurations connues éliminent les paramètres inconnus de l'appareil — ici $m$ et $J$.