Champ tournant et moteur synchrone

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La superposition des champs, la trigonométrie, le couple $\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}$ et le théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe. La stratégie : écrire le champ comme un vecteur tournant, puis se placer à sa vitesse.

1) Deux bobines en quadrature. Par superposition, $$\overrightarrow{B}=k{I}_0\left[\cos (\omega t){\overrightarrow{u}}_x+\cos \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right){\overrightarrow{u}}_y\right]=B_0\left[\cos (\omega t){\overrightarrow{u}}_x+\sin (\omega t){\overrightarrow{u}}_y\right]:$$ un vecteur de norme constante $B_0=k{I}_0$, d'angle $\omega t$ avec ${\overrightarrow{u}}_x$ — il tourne à la vitesse angulaire $\omega$. Il faut deux décalages : des axes décalés dans l'espace, des courants décalés dans le temps. Si $i_2=i_1$, $\overrightarrow{B}=B_0\cos (\omega t)({\overrightarrow{u}}_x+{\overrightarrow{u}}_y)$ : un champ de direction fixe, qui pulse sans tourner et n'entraîne rien. En inversant l'un des courants, on obtient $\cos (\omega t){\overrightarrow{u}}_x-\sin (\omega t){\overrightarrow{u}}_y$ : le sens de rotation s'inverse.

2) Trois bobines en triphasé. Avec ${\phi }_p=2\pi p/3$ et ${\overrightarrow{u}}_p=\cos {\phi }_p{\overrightarrow{u}}_x+\sin {\phi }_p{\overrightarrow{u}}_y$, $$B_x=k{I}_0\sum _{p=0}^2\cos (\omega t-{\phi }_p)\cos {\phi }_p,B_y=k{I}_0\sum _{p=0}^2\cos (\omega t-{\phi }_p)\sin {\phi }_p.$$ On transforme les produits en sommes : $$\cos (\omega t-{\phi }_p)\cos {\phi }_p=\frac{1}{2}\left[\cos (\omega t)+\cos (\omega t-2{\phi }_p)\right],$$ $$\cos (\omega t-{\phi }_p)\sin {\phi }_p=\frac{1}{2}\left[\sin (\omega t)-\sin (\omega t-2{\phi }_p)\right].$$ Les angles $2{\phi }_p$ valent, à $2\pi$ près, $0$, $4\pi /3$ et $2\pi /3$ : régulièrement espacés. La somme de trois cosinus (ou sinus) de tels angles est nulle — ce sont les projections de trois vecteurs unitaires à $120^{\circ }$, de somme nulle. Il reste $$\overrightarrow{B}=\frac{3}{2}k{I}_0\left[\cos (\omega t){\overrightarrow{u}}_x+\sin (\omega t){\overrightarrow{u}}_y\right]:$$ un champ tournant de norme $\frac{3}{2}k{I}_0$. Trois bobines branchées directement sur le réseau triphasé, sans aucun déphaseur, suffisent.

3) Le régime synchrone. Le champ fait l'angle $\omega t$ avec ${\overrightarrow{u}}_x$ ; on cherche $\theta (t)=\omega t-\alpha$. Le moment du couple magnétique par rapport à $(Oz)$ vaut $m{B}_0\sin \alpha$ : il est moteur quand l'aimant est en retard. Le théorème du moment cinétique par rapport à l'axe fixe donne $$J\ddot{\theta }=m{B}_0\sin \alpha -{\Gamma }_r,$$ et en régime synchrone $\ddot{\theta }=0$, d'où $\sin \alpha =\frac{{\Gamma }_r}{m{B}_0}$. Ce régime n'existe que si ${\Gamma }_r\le m{B}_0$ : le couple maximal du moteur est $m{B}_0$, atteint pour un retard de $\pi /2$. Au-delà, l'aimant ne suit plus le champ, le couple change de signe chaque fois que le champ le « double », sa moyenne s'effondre, et le moteur s'arrête : c'est le décrochage.

4) Stabilité. Pour ${\Gamma }_r<m{B}_0$, deux solutions : ${\alpha }_0<\pi /2$ et $\pi -{\alpha }_0$. Avec $\theta =\omega t-{\alpha }_0-\epsilon$, on a $\ddot{\theta }=-\ddot{\epsilon }$ et $\sin ({\alpha }_0+\epsilon )\approx \sin {\alpha }_0+\epsilon \cos {\alpha }_0$ : $$\ddot{\epsilon }+\frac{m{B}_0\cos {\alpha }_0}{J}\epsilon =0.$$

• $\cos {\alpha }_0>0$ (retard inférieur à $\pi /2$) : oscillateur harmonique, régime stable. Si l'aimant ralentit, son retard augmente, le couple augmente, il est ré-accéléré.
• $\cos {\alpha }_0<0$ : $\epsilon$ croît exponentiellement, instable ; un retard qui augmente y fait diminuer le couple.

Seul ${\alpha }_0=\arcsin \frac{{\Gamma }_r}{m{B}_0}$ est observé.

5) Le démarrage. Immobile à l'angle ${\theta }_0$, l'aimant subit $m{B}_0\sin (\omega t-{\theta }_0)$, de moyenne nulle sur une période : tiré dans un sens, puis dans l'autre, il vibre à peine. Un moteur synchrone ne démarre pas seul : il faut l'amener près de la vitesse de synchronisme, après quoi il « s'accroche ».

6) Applications numériques. Le champ fait $50$ tours par seconde, soit $$50\times 60=3000\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$$ (une paire de pôles), quelle que soit la charge tant qu'il n'y a pas décrochage : la vitesse est imposée par la fréquence du réseau. Le couple maximal est $m{B}_0=1,0\times 10^{-2}\mathrm{N}\mathrm{m}$, donc $\sin \alpha =0,5$ et $\alpha =30^{\circ }$. La puissance fournie à la charge est ${\Gamma }_r\omega =5,0\times 10^{-3}\times 2\pi \times 50\approx 1,6\mathrm{W}$ ; on pourrait doubler la charge avant le décrochage.

Ce que l'exercice installe. Deux décalages font un champ tournant, dans l'espace et dans le temps ; le triphasé les fournit naturellement, avec la norme $\frac{3}{2}k{I}_0$. Et l'analyse de stabilité par perturbation : l'équation au premier ordre autour du régime cherché, dont le coefficient de rappel tranche — le même geste que pour la boussole, appliqué à un mouvement.