Du magnéton de Bohr à l'aimant

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition $\overrightarrow{m}=IS\overrightarrow{n}$ et celle de l'intensité, charge traversant une section par unité de temps. La stratégie : remonter d'échelle — de l'électron à l'atome, au morceau de fer, à la planète — en gardant le même objet, la boucle de courant.

1) L'électron comme courant. L'électron fait un tour en $T=\frac{2\pi a_0}{v}$ ; un point fixe de l'orbite voit passer la charge $e$ (en valeur absolue) une fois par période : $$I=\frac{e}{T}=\frac{ev}{2\pi a_0}=\frac{1,60\times 10^{-19}\times 2,19\times 10^6}{2\pi \times 52,9\times 10^{-12}}\approx 1,05\times 10^{-3}\mathrm{A},$$ avec $v=\alpha c\approx 2,19\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Un milliampère, porté par un seul électron, parce qu'il fait de l'ordre de $10^{16}$ tours par seconde. Le moment vaut $$m=I\pi a_0^2=\frac{ev}{2\pi a_0}\pi a_0^2=\frac{ev{a}_0}{2}\approx \frac{1,60\times 10^{-19}\times 2,19\times 10^6\times 52,9\times 10^{-12}}{2}\approx 9,27\times 10^{-24}\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2:$$ c'est le magnéton de Bohr. L'électron étant négatif, le courant tourne en sens inverse de son mouvement. Homogénéité : $ev{a}_0$ s'exprime en $\mathrm{C}\times \mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\times \mathrm{m}=\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2$.

2) Le cube de fer. Le nombre d'atomes par unité de volume est $$n=\frac{\rho N_A}{M}=\frac{7,87\times 10^3\times 6,02\times 10^{23}}{55,8\times 10^{-3}}\approx 8,5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3},$$ soit $8,5\times 10^{22}$ atomes par centimètre cube. Alignés, leurs moments s'ajoutent : $$m_{\max }=8,5\times 10^{22}\times 2,2\times 9,27\times 10^{-24}\approx 1,7\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2.$$ Ordre de grandeur à retenir (le programme le demande) : un aimant usuel d'un centimètre cube a un moment de l'ordre de $1\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2$ ; un aimant néodyme-fer-bore en est proche, un aimant de réfrigérateur, mince et peu aimanté, est bien en dessous.

3) La spire équivalente. $S=\pi \times (5\times 10^{-3}{)}^2\approx 7,9\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2$, d'où $$I=\frac{m}{S}=\frac{1,7}{7,9\times 10^{-5}}\approx 2,2\times 10^4\mathrm{A}.$$ Vingt-deux mille ampères dans une spire d'un centimètre de diamètre : un fil de cuivre fondrait en une fraction de seconde. L'aimant le réalise sans dissipation, parce que ses « courants » sont atomiques — et, pour l'essentiel, liés au spin des électrons, sans équivalent classique. Ce sont les courants ampériens : Ampère proposait dès 1820 de voir dans un aimant une collection de petites boucles de courant. C'est l'analogie du programme : on associe un moment magnétique à un aimant par analogie avec une boucle de courant.

4) La Terre. Avec $S=\pi \times (3,5\times 10^6{)}^2\approx 3,8\times 10^{13}{\mathrm{m}}^2$, $$I=\frac{8\times 10^{22}}{3,8\times 10^{13}}\approx 2\times 10^9\mathrm{A}.$$ Deux milliards d'ampères. Le champ terrestre est effectivement entretenu par des courants dans le noyau externe, liquide et conducteur ; la boucle unique n'en donne que l'ordre de grandeur.

Ce que l'exercice installe. Le moment magnétique est l'objet commun à toutes les échelles : $10^{-23}\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2$ pour un atome, $10^{-2}\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2$ pour une petite bobine de laboratoire (le cadre de l'exercice 4), $1\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2$ pour un aimant d'un centimètre cube, $10^{23}\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2$ pour la Terre. Et la comparaison du 3) explique pourquoi l'aimant permanent est irremplaçable dans les petites machines.