Pourquoi un collecteur

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le couple ${\Gamma }_z=-mB\sin \theta$ sur un cadre (le moment $\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}$ projeté sur l'axe), la puissance ${\Gamma }_z\omega$ et l'énergie potentielle $E_p=-mB\cos \theta$. La stratégie : suivre le signe du couple sur un tour, puis moyenner.

1) Sans collecteur.

$$⟨{\Gamma }_z⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }(-mB\sin \theta )\mathrm{d}\theta =0.$$

Sur un demi-tour le couple freine, sur l'autre il entraîne : ce que le champ donne d'un côté, il le reprend de l'autre. Lâché sans vitesse, le cadre oscille autour de l'équilibre stable $\theta =0$ et s'y arrête par frottement. Lancé vite, il fait des tours, mais le travail du couple sur un tour est nul ($E_p$ reprend sa valeur) : rien ne compense les frottements, il ralentit et finit immobile en $\theta =0$. Un cadre alimenté en continu n'est pas un moteur.

2) Avec collecteur. Pour que le couple soit toujours moteur, il faut changer le signe de $m$ — le sens du courant — exactement quand $\sin \theta$ change de signe : au passage par $\theta =0$ et $\theta =\pi$, où $\overrightarrow{m}$ est parallèle à $\overrightarrow{B}$ (le plan du cadre est alors perpendiculaire au champ) et où le couple est nul. Le cadre franchit ces « points morts » sur son élan, et l'inversion s'y fait sans rien perdre. Alors

$${\Gamma }_z=mB|\sin \theta |\ge 0,⟨{\Gamma }_z⟩=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }mB\sin \theta \mathrm{d}\theta =\frac{2}{\pi }mB\approx 0,64mB.$$

Le défaut. Le couple s'annule deux fois par tour et varie de $0$ à $mB$ : une ondulation d'environ $1,6$ fois sa moyenne, et un moteur qui peut rester bloqué sur un point mort.

3) Deux cadres à angle droit. Le second cadre, d'angle $\theta +\pi /2$, donne avec son collecteur $mB|\cos \theta |$. Les couples s'ajoutent : ${\Gamma }_z=mB\left(|\sin \theta |+|\cos \theta |\right)$. En élevant au carré, ${\left(|\sin \theta |+|\cos \theta |\right)}^2=1+|\sin 2\theta |$, compris entre $1$ et $2$ :

$$mB\le {\Gamma }_z\le \sqrt{2}mB,⟨{\Gamma }_z⟩=\frac{4}{\pi }mB\approx 1,27mB.$$

Le couple ne s'annule plus : le moteur démarre dans toutes les positions. L'écart entre extrêmes, $(\sqrt{2}-1)mB$, vaut environ $33\%$ de la moyenne, contre $160\%$ pour un cadre unique. Avec davantage de cadres régulièrement répartis, reliés à autant de lames de collecteur, le couple devient pratiquement constant : c'est le bobinage des machines réelles.

4) Application numérique. $⟨{\Gamma }_z⟩=\frac{2}{\pi }\times 1,2\times 10^{-2}\times 0,1\approx 7,6\times 10^{-4}\mathrm{N}\mathrm{m}$ ; à $3000\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$, $\omega =2\pi \times 50\approx 314\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et

$$⟨\mathcal{P}⟩=⟨{\Gamma }_z⟩\omega \approx 0,24\mathrm{W},$$

un moteur de jouet. Gagner un facteur mille demande un champ plus intense (aimant, circuit magnétique en fer), et beaucoup plus de spires et d'ampères.

Ce que l'exercice installe. Un couple qui dérive d'une énergie potentielle ne peut pas entretenir une rotation : son travail sur un tour est nul. Pour en faire un moteur, il faut briser cette symétrie en inversant le courant au bon moment — le collecteur — ou bien faire tourner le champ, principe du moteur synchrone. Et plusieurs cadres décalés lissent le couple.