Inductance et énergie d'une bobine longue

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le champ est donné ; la définition du flux propre, ${\Phi }_p=Li$ ; la définition du flux à travers un circuit de $N$ spires, somme des flux à travers chaque spire.

1) Le flux propre et le $N^2$. On oriente chaque spire dans le sens du courant ; la normale est alors dans le sens du champ créé (main droite), et le flux à travers une spire vaut $BS$. Les $N$ spires, traversées par le même champ uniforme, sont en série dans le même circuit : leurs flux s'ajoutent. $${\Phi }_p=NBS=N\cdot {\mu }_0\frac{N}{\ell }i\cdot S={\mu }_0\frac{N^{2}S}{\ell }i⟹L=\frac{{\Phi }_p}{i}={\mu }_0\frac{N^{2}S}{\ell }.$$ Le point délicat : pourquoi $N^2$. Le nombre de spires intervient deux fois, pour deux raisons distinctes. Une première fois dans le champ : $N$ spires parcourues par $i$ créent un champ $N$ fois plus grand qu'une seule. Une seconde fois dans le flux : ce champ traverse $N$ spires, dont les flux s'additionnent. Doubler le nombre de spires (à longueur égale) quadruple l'inductance.

Homogénéité. ${\mu }_0$ s'exprime en henrys par mètre, $N$ est sans dimension, $S/\ell$ est une longueur : $L$ s'exprime en $\mathrm{H}{\mathrm{m}}^{-1}\times \mathrm{m}=\mathrm{H}$.

2) Valeurs. $S=\pi r^2=\pi \times (0,020{)}^2=1,26\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ et $$L=4\pi \times 10^{-7}\times \frac{500^2\times 1,26\times 10^{-3}}{0,25}\approx 1,6\times 10^{-3}\mathrm{H}=1,6\mathrm{mH}.$$ Avec le noyau de fer, le champ, donc le flux, est multiplié par ${\mu }_r$ : $L\approx 1,6\mathrm{H}$. C'est la gamme des bobines de travaux pratiques : quelques millihenrys à air, l'ordre du henry avec un noyau. Validité. Ici $\ell /r=12,5$ : l'approximation de bobine longue est raisonnable ; avec du fer, ${\mu }_r$ n'est qu'un ordre de grandeur (il dépend du champ, et le fer sature vers $1,5$ à $2$ T).

3) Le champ et l'énergie à $2$ A. $$B={\mu }_0\frac{N}{\ell }i=4\pi \times 10^{-7}\times \frac{500}{0,25}\times 2,0=5,0\times 10^{-3}\mathrm{T}=5,0\mathrm{mT},$$ une centaine de fois le champ magnétique terrestre, et $${\mathcal{E}}_m=\frac{1}{2}L{i}^2=\frac{1}{2}\times 1,58\times 10^{-3}\times (2,0{)}^2=3,2\times 10^{-3}\mathrm{J}=3,2\mathrm{mJ}.$$

4) Où est l'énergie ? On remplace $L$ par son expression et $i$ par $\frac{B\ell }{{\mu }_{0}N}$ : $$\frac{1}{2}L{i}^2=\frac{1}{2}{\mu }_0\frac{N^{2}S}{\ell }\cdot \frac{B^2{\ell }^2}{{\mu }_0^2{N}^2}=\frac{B^2}{2{\mu }_0}S\ell .$$ Le nombre de spires a disparu, et $S\ell$ est exactement le volume où règne le champ. L'énergie est ce volume multiplié par $\frac{B^2}{2{\mu }_0}$, qui ne dépend que du champ local : une densité volumique d'énergie magnétique. L'énergie n'est pas « dans le fil » : elle est dans le champ. Contrôle numérique : $\frac{(5,0\times 10^{-3}{)}^2}{2\times 4\pi \times 10^{-7}}\approx 10\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$, multiplié par $S\ell =3,1\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^3$, redonne $3,2$ mJ.

L'imagerie médicale. À $B=1,5$ T, la densité vaut $\frac{1,5^2}{2\times 4\pi \times 10^{-7}}\approx 9\times 10^5\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$ ; sur un mètre cube, l'énergie stockée est de l'ordre du mégajoule — l'énergie cinétique d'une voiture sur autoroute.

Ce que l'exercice installe. Calculer une inductance à partir d'un champ donné : flux à travers une spire, multiplié par le nombre de spires, divisé par le courant. Retenir l'ordre de grandeur ($\mathrm{mH}$ à air, $\mathrm{H}$ avec du fer) et le $N^2$. Et lire $\frac{1}{2}L{i}^2$ comme une énergie localisée dans le champ, de densité $\frac{B^2}{2{\mu }_0}$ — idée qui permettra de raisonner sur l'énergie de deux circuits couplés (exercice 6).