Mesurer une inductance mutuelle

1) Deux bobines en série. Orientons les deux bobines dans le sens du courant commun $i$ (et $r=r_1+r_2$). Le flux total à travers le circuit est la somme des flux à travers chaque bobine ; à travers la bobine 1, il y a son flux propre $L_{1}i$ et le flux $Mi$ envoyé par la bobine 2 ; à travers la bobine 2, son flux propre $L_{2}i$ et le flux $Mi$ envoyé par la bobine 1 :

$$\Phi =(L_{1}i+Mi)+(L_{2}i+Mi)=(L_1+L_2+2M)i.$$

L'association a donc l'inductance $L_1+L_2+2M$. Si l'on retourne le branchement de la seconde bobine, le courant commun la parcourt en sens inverse de son orientation précédente : relativement à l'orientation imposée par le courant, sa mutuelle change de signe, et l'inductance devient $L_1+L_2-2M$. Avec $M>0$ dans la première orientation (bobinages « concordants »), $L_{+}$ est la plus grande des deux.

2) Deux mesures, deux inconnues. Par différence et par somme :

$$|M|=\frac{L_{+}-L_{-}}{4}=\frac{85-15}{4}=17,5\mathrm{mH},L_1+L_2=\frac{L_{+}+L_{-}}{2}=\frac{85+15}{2}=50\mathrm{mH}.$$

Pourquoi la méthode est bonne. La constante de temps ne donne que l'inductance de l'ensemble ; deux montages qui ne diffèrent que par le signe de $M$ l'isolent par différence (la résistance totale est la même).

3) Le coefficient de couplage.

$$k=\frac{17,5}{\sqrt{40\times 10}}=\frac{17,5}{20}=0,875.$$

Le couplage est bon sans être total : une partie du flux de chaque bobine ne traverse pas l'autre.

4) Le secondaire ouvert. Secondaire ouvert, $i_2=0$, et la tension aux bornes du secondaire se réduit au terme de mutuelle, $u_2=M\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}$ (au signe près, qui dépend des orientations). En régime sinusoïdal, l'amplitude complexe vaut ${\underline{U}}_2=jM\omega {\underline{I}}_1$, d'où, en valeurs efficaces,

$$\begin{array}{rl}{U}_2& =|M|\omega I_1\\ & =17,5\times 10^{-3}\times 2\pi \times 50\times 0,10\approx 0,55\mathrm{V}.\end{array}$$

Une mesure de $U_2$ et de $I_1$ donne donc directement $|M|=\frac{U_2}{\omega I_1}$.

Pourquoi ouvert. Si le secondaire débitait un courant $i_2$, sa tension contiendrait aussi les termes $r_2{i}_2+L_2\frac{\mathrm{d}{i}_2}{\mathrm{d}t}$, et la relation simple $U_2=M\omega I_1$ serait perdue. Un voltmètre de résistance d'entrée de l'ordre du mégaohm laisse le secondaire pratiquement ouvert : c'est l'ordre de grandeur qui justifie l'hypothèse.

5) La positivité de $L_{-}$. L'association en série est une bobine réelle ; parcourue par $i$, elle stocke l'énergie magnétique $\frac{1}{2}{L}_{-}{i}^2$, qui est positive puisqu'une densité $\frac{B^2}{2{\mu }_0}$ l'est partout. Donc $L_{-}\ge 0$, c'est-à-dire

$$|M|\le \frac{L_1+L_2}{2}.$$

La mutuelle est bornée par la moyenne arithmétique des inductances propres. Ici, $17,5\mathrm{mH}\le 25\mathrm{mH}$. Un bilan d'énergie de deux circuits couplés parcourus par des courants quelconques améliore cette borne en remplaçant la moyenne arithmétique par la moyenne géométrique : $M^2\le L_1{L}_2$.

Ce que l'exercice installe. La mesure par différence : deux montages qui ne diffèrent que par le signe d'une grandeur l'isolent. La mesure à secondaire ouvert, justifiée par l'ordre de grandeur de la résistance d'entrée d'un voltmètre. Et le réflexe de chercher, derrière toute inégalité physique, une énergie positive.