Mutuelle de deux bobines en influence totale

La stratégie. Une inductance mutuelle se calcule comme une inductance propre, mais « en croisant » : on fait passer un courant dans un circuit, on calcule le flux qu'il envoie à travers l'autre, on divise par le courant.

1) Les trois inductances. Pour les inductances propres, on reprend le résultat de l'exercice 4 : $$L_1={\mu }_0\frac{N_1^{2}S}{\ell }=4\pi \times 10^{-7}\times \frac{400^2\times 1,0\times 10^{-3}}{0,20}=1,0\times 10^{-3}\mathrm{H},$$ $$L_2={\mu }_0\frac{N_2^{2}S}{\ell }=4\pi \times 10^{-7}\times \frac{100^2\times 1,0\times 10^{-3}}{0,20}=6,3\times 10^{-5}\mathrm{H}=63\mu \mathrm{H}.$$ Flux de 1 à travers 2. La bobine 1, parcourue par $i_1$, crée le champ $B_1={\mu }_0\frac{N_1}{\ell }{i}_1$ dans toute la section $S$, donc à travers chacune des $N_2$ spires de la bobine 2, orientées dans le même sens : $${\Phi }_{1\to 2}=N_2{B}_{1}S={\mu }_0\frac{N_1{N}_{2}S}{\ell }{i}_1⟹M_{21}={\mu }_0\frac{N_1{N}_{2}S}{\ell }.$$ Flux de 2 à travers 1. Symétriquement, ${\Phi }_{2\to 1}=N_1{B}_{2}S={\mu }_0\frac{N_1{N}_{2}S}{\ell }{i}_2$, donc $M_{12}=M_{21}$. On vérifie ici sur un exemple une propriété générale, admise dans le cours : l'inductance mutuelle est symétrique, et l'on peut parler de « la » mutuelle $M$ : $$M=4\pi \times 10^{-7}\times \frac{400\times 100\times 1,0\times 10^{-3}}{0,20}=2,5\times 10^{-4}\mathrm{H}=0,25\mathrm{mH}.$$

2) L'influence totale. $$L_1{L}_2={\mu }_0^2\frac{N_1^2{N}_2^2{S}^2}{{\ell }^2}=M^2.$$ L'égalité exprime que chaque ligne de champ créée par l'une des bobines traverse toutes les spires de l'autre : aucune fuite. Numériquement, $L_1{L}_2=6,3\times 10^{-8}{\mathrm{H}}^2$ et $M^2=6,3\times 10^{-8}{\mathrm{H}}^2$.

3) Une bobine intérieure plus étroite. Posons $S_1=\pi r_1^2$ et $S_2=\pi r_2^2$, avec $S_2<S_1$.

• $L_1={\mu }_0\frac{N_1^2{S}_1}{\ell }$ et $L_2={\mu }_0\frac{N_2^2{S}_2}{\ell }$ : chaque bobine seule voit son propre champ sur sa propre section.
• Flux de 1 à travers 2 : le champ $B_1$ règne dans toute la section $S_1$, mais les spires de la bobine 2 n'en capturent que la partie $S_2$ : $M={\mu }_0\frac{N_1{N}_2{S}_2}{\ell }$.
• Contrôle par le flux de 2 à travers 1 : le champ $B_2$ n'existe que dans la section $S_2$ ; à travers une spire de 1, de section $S_1$, il ne contribue que sur $S_2$ (il est nul dans la couronne). On retrouve $N_1{B}_2{S}_2$, donc le même $M$. La symétrie tient.

Alors $$k=\frac{M}{\sqrt{L_1{L}_2}}=\frac{N_1{N}_2{S}_2}{\sqrt{N_1^2{S}_1{N}_2^2{S}_2}}=\sqrt{\frac{S_2}{S_1}}=\frac{r_2}{r_1}=\frac{1,5}{2,0}=0,75.$$ Interprétation. Le flux de la bobine 2 traverse entièrement la bobine 1, mais la bobine 2 ne capture qu'une fraction $S_2/S_1=0,56$ du flux de la bobine 1 : le reste passe dans la couronne entre les bobinages — ce sont des fuites. Le coefficient $k$ mesure la qualité du couplage et vaut $1$ en influence totale (l'exercice 6 montrera que $k\le 1$ toujours).

4) Le signe de $M$. Inverser l'orientation de la bobine 2 retourne sa normale : le flux de 1 à travers 2 change de signe, et $M$ aussi. $|M|$ est une propriété géométrique (forme et position des bobines), le signe de $M$ est une affaire de conventions d'orientation des deux circuits. Sur les schémas, un point marque les bornes « homologues » qui rendent $M$ positif.

Ce que l'exercice installe. Calculer une mutuelle en croisant flux et courant, et vérifier la symétrie $M_{12}=M_{21}$ en calculant les deux. Reconnaître l'influence totale, $M^2=L_1{L}_2$ — c'est elle qui fera le transformateur parfait du problème. Et séparer le module de $M$ (géométrie) de son signe (orientations).