Ouvrir un circuit inductif

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La relation de la bobine en convention récepteur, $u=ri+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$, et la continuité de l'intensité dans une bobine : l'énergie $\frac{1}{2}L{i}^2$ ne peut pas varier instantanément, faute de quoi la puissance reçue serait infinie.

1) Le régime permanent. Interrupteur fermé depuis longtemps, le courant est constant : $L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=0$ et la bobine se comporte comme sa seule résistance interne. La tension à ses bornes est imposée par le générateur idéal, $u=E$ :

$$I_0=\frac{E}{r}=\frac{10}{10}=1,0\mathrm{A},{\mathcal{E}}_m=\frac{1}{2}L{I}_0^2=\frac{1}{2}\times 0,10\times 1,0^2=5,0\times 10^{-2}\mathrm{J}.$$

2) L'ouverture sans protection. Pendant l'ouverture, $\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=-\frac{I_0}{\Delta t}$, et le terme inductif domine largement le terme résistif :

$$\begin{array}{rl}u& =ri+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\approx -L\frac{I_0}{\Delta t}\\ & =-0,10\times \frac{1,0}{1,0\times 10^{-3}}\\ & =-100\mathrm{V}.\end{array}$$

La loi des mailles dans la maille générateur–interrupteur–bobine donne la tension entre les contacts de l'interrupteur : $u_K=E-u\approx 10+100=110\mathrm{V}$, onze fois la tension d'alimentation. Le signe de $u$ s'est inversé : la bobine se comporte maintenant en générateur, elle tente d'entretenir le courant qu'on lui retire (c'est Lenz, appliqué au circuit lui-même).

Si $\Delta t\to 0$, $|u|\to \infty$ : une coupure instantanée est impossible, puisqu'elle violerait la continuité de $i$. Avec des contacts qui s'écartent en une microseconde, la surtension atteindrait des dizaines de kilovolts ; au-delà de la tension de claquage de l'air (environ $3\mathrm{kV}$ par millimètre), une étincelle jaillit : le courant continue dans l'arc, qui dissipe l'énergie de la bobine et use les contacts. C'est aussi le principe de la bobine d'allumage des moteurs à essence.

3) Avec la résistance de décharge. Après l'ouverture, le générateur et l'interrupteur sont hors circuit ; il reste une seule maille : la bobine fermée sur $R^{\prime }$. Par continuité, le courant dans la bobine vaut encore $I_0=1,0$ A à l'instant $0^{+}$, et il circule toujours de $A$ vers $B$ dans la bobine — il revient donc de $B$ vers $A$ dans $R^{\prime }$. La loi d'Ohm pour $R^{\prime }$, parcourue de $B$ vers $A$, donne

$$u(0^{+})=u_{AB}(0^{+})=-R^{\prime }{I}_0=-40\mathrm{V}.$$

La tension aux bornes de la bobine passe donc brutalement de $+10$ V à $-40$ V : elle est discontinue, ce qui est permis (c'est le courant qui est continu, pas la tension). La surtension est finie et maîtrisée : quatre fois $E$, au lieu de l'étincelle.

4) La décharge et le bilan. Dans la maille bobine–$R^{\prime }$, avec $i$ orienté de $A$ vers $B$ dans la bobine, la tension est d'une part $u=ri+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$, d'autre part $u=-R^{\prime }i$. Donc

$$L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+(r+R^{\prime })i=0,i(t)=I_0{\mathrm{e}}^{-t/{\tau }^{\prime }},{\tau }^{\prime }=\frac{L}{r+R^{\prime }}=\frac{0,10}{50}=2,0\mathrm{ms}.$$

Multiplions l'équation par $i$ et intégrons de $0$ à l'infini :

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }(r+R^{\prime })i^2\mathrm{d}t& =-{\int }_0^{\infty }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}L{i}^2\right)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}L{I}_0^2.\end{array}$$

Toute l'énergie magnétique stockée est dissipée par effet Joule, répartie entre $r$ et $R^{\prime }$ au prorata des résistances (elles sont parcourues par le même courant). La part dissipée dans $R^{\prime }$ vaut

$$\begin{array}{rl}\frac{R^{\prime }}{r+R^{\prime }}\cdot \frac{1}{2}L{I}_0^2& =\frac{40}{50}\times 5,0\times 10^{-2}\\ & =4,0\times 10^{-2}\mathrm{J}.\end{array}$$

5) Le choix de $R^{\prime }$. La surtension vaut $R^{\prime }{I}_0$ et la durée de la décharge $\frac{L}{r+R^{\prime }}$. Un grand $R^{\prime }$ décharge vite, mais avec une forte surtension ; dans la limite $R^{\prime }\to \infty$, on retrouve la situation sans protection et l'étincelle. Un petit $R^{\prime }$ limite la surtension, mais la décharge est lente, et, interrupteur fermé, $R^{\prime }$ consomme en permanence $E^2/R^{\prime }=2,5$ W. D'où, en pratique, la diode de roue libre : bloquée en fonctionnement normal, passante à l'ouverture.

Ce que l'exercice installe. La continuité du courant dans une bobine, justifiée par l'énergie, comme outil de calcul des conditions juste après une commutation ; la tension, elle, peut sauter. Le bilan énergétique sur un schéma équivalent : l'énergie $\frac{1}{2}L{I}_0^2$ stockée finit intégralement en chaleur, quelle que soit la résistance de décharge. Et un réflexe d'ingénieur : on ne coupe jamais le courant d'une charge inductive sans lui offrir un chemin.