Une spire autour d'un solénoïde

La stratégie. Le flux est l'intégrale de $\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}$ sur une surface qui s'appuie sur la spire. On choisit la plus simple : le disque plan de rayon $r$, perpendiculaire à l'axe. On le découpe en deux régions, celle où le champ existe et celle où il est nul.

1) Le flux ne voit que la région où règne le champ. Sur le disque de rayon $r$, le champ vaut ${\mu }_{0}ni{\overrightarrow{u}}_z$ dans le disque central de rayon $r_s$ (l'intérieur du solénoïde), et zéro dans la couronne $r_s<\rho <r$. Donc $$\Phi ={\mu }_{0}ni\pi r_s^2+0={\mu }_{0}n\pi r_s^2{I}_0\sin (\omega t).$$ Numériquement, ${\mu }_{0}n{I}_0=4\pi \times 10^{-7}\times 2000\times 1,0=2,5\times 10^{-3}\mathrm{T}$ et $\pi r_s^2=1,26\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$, d'où une amplitude de flux ${\Phi }_0=3,2\times 10^{-6}\mathrm{Wb}$. La loi de Faraday donne $$e=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}=-{\mu }_{0}n\pi r_s^2{I}_0\omega \cos (\omega t),$$ d'amplitude $$E_0={\Phi }_0\omega =3,2\times 10^{-6}\times 2\pi \times 50\approx 1,0\times 10^{-3}\mathrm{V}=1,0\mathrm{mV}.$$ Homogénéité : un flux en webers divisé par un temps donne des volts, puisque $1\mathrm{V}=1\mathrm{Wb}{\mathrm{s}}^{-1}$. Le rayon $r$ de la spire n'intervient pas : agrandir la spire n'ajoute au flux que la couronne extérieure, où le champ est nul.

2) D'autres spires. Une spire de rayon $20\mathrm{cm}$ enlace le même solénoïde : même flux, même f.é.m., $1,0$ mV d'amplitude. Une bobine de $10$ spires enlaçant le solénoïde additionne dix fois le même flux : $10$ mV d'amplitude.

3) La spire qui n'enlace pas. Posée à côté du solénoïde, la spire délimite un disque où le champ est nul partout : $\Phi =0$ à chaque instant, donc $e=0$.

Le point délicat. Comparons les questions 1) et 3). Dans les deux cas, le champ magnétique est nul en chaque point du fil de la spire. Pourtant, la spire qui enlace le solénoïde est le siège d'une f.é.m., et l'autre non. La loi de Faraday ne dit pas « le champ agit sur le fil là où il le touche » : elle relie la f.é.m. au flux à travers le circuit. Ce qui distingue les deux spires est une question de topologie : l'une enlace la région de champ variable, l'autre non. (Le mécanisme local n'est pas au programme ; seul le flux compte.)

4) La pince ampèremétrique. Le fil dont on veut mesurer le courant $i(t)$ traverse la mâchoire fermée. Ce courant crée un champ dont les lignes tournent autour du fil ; le matériau ferromagnétique les canalise, si bien que le flux à travers une section de la mâchoire est proportionnel à $i$ : ${\Phi }_1=\Lambda i$, où $\Lambda$ ne dépend que de la géométrie et du matériau. L'enroulement de $N$ spires bobiné sur la mâchoire enlace ce flux, exactement comme la spire du 1) enlaçait le solénoïde : il est le siège de la f.é.m. $$e=-N\Lambda \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t},$$ proportionnelle à la dérivée du courant, donc à son amplitude en régime sinusoïdal de fréquence connue. Les rôles sont simplement échangés par rapport au 1) : c'est maintenant le fil qui joue l'inducteur, et la bobine qui l'enlace. On ne coupe rien, on n'insère aucune résistance dans le circuit mesuré.

En courant continu, $\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=0$ : le flux est constant, aucune f.é.m. n'apparaît, la pince est aveugle. Les pinces « continu » emploient une sonde à effet Hall, qui mesure le champ lui-même.

Ce que l'exercice installe. On calcule un flux en choisissant la surface la plus commode et en la découpant selon les régions de champ. La f.é.m. dépend de ce que le circuit enlace, pas de la taille du circuit ni du champ au niveau du fil. Et l'induction ne répond qu'aux variations : tout capteur inductif est aveugle au continu — on retrouvera la même limite pour le transformateur.