Combien d'équations, quelles inconnues ?

La stratégie. Avant de résoudre, on compte : un système bien posé a autant d'équations indépendantes que d'inconnues. Le compte dépend du choix des inconnues, et un bon choix rend l'une des deux lois de Kirchhoff automatiquement vraie.

1) Le pont. Quatre nœuds ($n=4$), six branches ($b=6$) : $DA$ (la source), $AB$, $AC$, $BD$, $CD$ et $BC$ (l'appareil). Avec les six intensités de branche pour inconnues, il faut six équations indépendantes. On oriente chaque branche dans l'ordre où elle est écrite ($i_{DA}$ de $D$ vers $A$, $i_{AB}$ de $A$ vers $B$, etc.) et l'on compte positivement les courants entrants :

$$A:i_{DA}-i_{AB}-i_{AC}=0,B:i_{AB}-i_{BD}-i_{BC}=0,$$

$$C:i_{AC}+i_{BC}-i_{CD}=0,D:i_{BD}+i_{CD}-i_{DA}=0.$$

En les additionnant, chaque intensité apparaît deux fois, une fois entrante (au nœud d'arrivée de sa branche) et une fois sortante (au nœud de départ) : la somme est identiquement nulle. La loi en $D$ est donc conséquence des trois autres ; on n'a que trois lois des nœuds indépendantes.

2) Le cas général. L'argument est le même : chaque branche relie deux nœuds, et son intensité figure avec le signe $+$ dans la loi d'un nœud et avec le signe $-$ dans celle de l'autre. La somme des $n$ lois est nulle, et l'on garde $n-1$ lois indépendantes. Il manque $b-(n-1)=b-n+1$ équations, qui doivent venir des lois des mailles. Le résultat sur l'arbre les fournit : l'arbre a $n-1$ branches ; chacune des $b-n+1$ branches restantes ferme une maille avec l'arbre, et cette maille est la seule, parmi celles qu'on fabrique ainsi, à contenir cette branche — les lois correspondantes sont donc indépendantes, puisque chacune fait intervenir une tension absente de toutes les autres. Il y a $b-n+1$ mailles indépendantes. Pour le pont : $6-4+1=3$ ; on peut prendre par exemple les mailles $ABC$, $BCD$ et $ABDA$ fermée par la source. Au total, $(n-1)+(b-n+1)=b$ : exactement le nombre d'inconnues.

Le point délicat. Écrire toutes les mailles qu'on voit sur un schéma donne trop d'équations, dont certaines sont des combinaisons des autres ; écrire toutes les lois des nœuds aussi.

3) Deux autres choix d'inconnues.

(a) Courants de maille. Dans chaque branche, le courant est la somme algébrique des courants des mailles qui la contiennent. En un nœud, chaque courant de maille qui y passe entre par une branche et sort par une autre : il s'élimine. La loi des nœuds est automatiquement vérifiée, et il reste les $b-n+1$ lois des mailles, pour $b-n+1$ inconnues.

(b) Potentiels de nœuds. Si l'on se donne un potentiel en chaque nœud, chaque tension de branche est une différence de potentiels, et la somme des tensions le long d'une maille revient à son point de départ : $(V_A-V_B)+(V_B-V_C)+(V_C-V_A)=0$, quelle que soit la valeur des potentiels. La loi des mailles est automatiquement vérifiée (c'est la relation de Chasles). Il reste les $n-1$ lois des nœuds indépendantes, pour $n-1$ inconnues (un nœud sert de référence). Chaque courant de branche s'écrit à l'aide des potentiels de ses deux extrémités grâce à la relation tension-intensité de son dipôle.

4) Le décompte. Pour le pont : $6$ courants de branche, $3$ courants de maille, $3$ potentiels — égalité entre les deux dernières méthodes. Pour le réseau complet à $5$ nœuds, le nombre de branches est le nombre de paires de nœuds, $b=\frac{5\times 4}{2}=10$ : $10$ courants de branche, $b-n+1=6$ courants de maille, $n-1=4$ potentiels. Les potentiels l'emportent nettement dès que les nœuds sont très reliés ; les courants de maille l'emportent au contraire quand le réseau a beaucoup de nœuds et peu de boucles (une chaîne de dipôles en série).

Ce que l'exercice installe. On choisit ses inconnues avant de calculer, et l'on compte les équations indépendantes : $n-1$ lois des nœuds, $b-n+1$ lois des mailles. Chaque méthode rend une loi automatique — les courants de maille la loi des nœuds, les potentiels la loi des mailles. C'est ce compte qui dit, devant un circuit, par où commencer.