Le courant d'un coup de foudre

La stratégie. La charge est l'aire sous la courbe $i(t)$, puisque $i=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t$ donne $q=\int i\mathrm{d}t$. On étudie d'abord la forme de $i(t)$ pour caler le modèle sur la mesure, puis on intègre.

1) Forme du courant et calage. À $t=0$, les deux exponentielles valent $1$ : $i(0)=0$, le courant part de zéro, comme il se doit. Pour $t>0$, ${\tau }_1>{\tau }_2$ donne $t/{\tau }_1<t/{\tau }_2$, donc ${\mathrm{e}}^{-t/{\tau }_1}>{\mathrm{e}}^{-t/{\tau }_2}$ et $i(t)>0$ : le courant garde un signe, celui de la décharge. Au maximum, la dérivée s'annule :

$$\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=I_0\left(-\frac{1}{{\tau }_1}{\mathrm{e}}^{-t/{\tau }_1}+\frac{1}{{\tau }_2}{\mathrm{e}}^{-t/{\tau }_2}\right)=0⟺{\mathrm{e}}^{t\left(\frac{1}{{\tau }_2}-\frac{1}{{\tau }_1}\right)}=\frac{{\tau }_1}{{\tau }_2},$$

d'où

$$\begin{array}{rl}{t}^{\ast }& =\frac{{\tau }_1{\tau }_2}{{\tau }_1-{\tau }_2}\ln \frac{{\tau }_1}{{\tau }_2}\\ & =\frac{50\times 5}{45}\ln 10\mu \mathrm{s}\approx 12,8\mu \mathrm{s}.\end{array}$$

La dérivée est positive avant $t^{\ast }$ et négative après (le terme en $1/{\tau }_2$ domine aux temps courts) : c'est bien un maximum. Le pic vaut $I_0\left({\mathrm{e}}^{-t^{\ast }/{\tau }_1}-{\mathrm{e}}^{-t^{\ast }/{\tau }_2}\right)=0,697I_0$, donc

$$I_0=\frac{30\mathrm{kA}}{0,697}\approx 43,1\mathrm{kA}.$$

Point délicat. $I_0$ n'est pas le pic : le pic est plus faible, parce que la seconde exponentielle n'a pas fini de s'éteindre quand la première a déjà commencé à décroître.

2) La charge. En intégrant de $0$ à l'infini, chaque exponentielle donne sa constante de temps :

$$\begin{array}{rl}q& ={\int }_0^{+\infty }i(t)\mathrm{d}t\\ & =I_0\left({\tau }_1-{\tau }_2\right)\\ & =43,1\times 10^3\times 45\times 10^{-6}\approx 1,9\mathrm{C}.\end{array}$$

Homogénéité. Des ampères multipliés par des secondes : des coulombs.

3) Le cas limite ${\tau }_2\to 0$. Le second terme s'éteint instantanément : $i(t)\to I_0{\mathrm{e}}^{-t/{\tau }_1}$, un courant qui saute de $0$ à $I_0$ à $t=0^{+}$, puis décroît, et $q\to I_0{\tau }_1$, aire sous une exponentielle. ${\tau }_2$ est donc l'échelle du temps de montée du courant, ${\tau }_1$ celle de sa décroissance ; le modèle à deux constantes sert à représenter un front raide mais pas infiniment raide. On retrouve aussi, pour ${\tau }_2\to 0$, que $t^{\ast }\to 0$ : le pic se colle à l'origine.

4) La durée utile. La charge passée à l'instant $t$ vaut

$$q(t)=I_0\left[{\tau }_1\left(1-{\mathrm{e}}^{-t/{\tau }_1}\right)-{\tau }_2\left(1-{\mathrm{e}}^{-t/{\tau }_2}\right)\right].$$

Résoudre $q(t)=0,99q$ numériquement donne $t\approx 236\mu \mathrm{s}$. À ce moment le terme en ${\tau }_2$ est éteint depuis longtemps, et l'on retrouve presque ${\tau }_1\ln \left(\frac{100{\tau }_1}{{\tau }_1-{\tau }_2}\right)\approx 235\mu \mathrm{s}$ : il faut un peu moins de cinq constantes de temps ${\tau }_1$ pour qu'il ne reste qu'un pour cent. L'éclair proprement dit (cet « arc en retour ») dure donc quelques centaines de microsecondes.

Vérification numérique (facultative). La méthode des trapèzes approche l'aire sous $i(t)$ :

import numpy as np

tau1, tau2 = 50e-6, 5e-6              # constantes de temps (s)
I0 = 43.1e3                           # amplitude du modèle (A)
t = np.linspace(0.0, 1e-3, 100001)    # 1 ms, pas de 10 ns
i = I0 * (np.exp(-t/tau1) - np.exp(-t/tau2))
q = np.trapezoid(i, t)                # aire sous i(t)
print("pic (kA) :", round(i.max()/1e3, 1))
print("instant du pic (µs) :", round(t[i.argmax()]*1e6, 1))
print("charge (C) :", round(q, 3))
print("formule (C) :", round(I0*(tau1 - tau2), 3))

Le script affiche un pic de $30,0\mathrm{kA}$ à $12,8\mu \mathrm{s}$, une charge de $1,939\mathrm{C}$ et, par la formule, $1,94\mathrm{C}$ : la méthode numérique confirme le calage et l'intégrale.

5) Ordres de grandeur. Une batterie de $4000\mathrm{mA}\mathrm{h}=4\mathrm{A}\times 3600\mathrm{s}$ porte $14400\mathrm{C}$, soit environ sept mille fois plus que l'éclair. L'extraordinaire, dans la foudre, n'est pas la charge mais le débit. L'énergie est de l'ordre de $Uq\sim 10^8\times 2=2\times 10^8\mathrm{J}$ ; une estimation plus grossière (un courant de $30\mathrm{kA}$ maintenu $30\mu \mathrm{s}$, soit $0,9\mathrm{C}$) donne $9\times 10^7\mathrm{J}$. Dans les deux cas, de l'ordre de $10^8\mathrm{J}$, quelques dizaines de kilowattheures. La puissance instantanée, de l'ordre de $10^8\times 3\times 10^4=3\times 10^{12}\mathrm{W}$, est colossale ; l'énergie, elle, est modeste, parce que la durée est infime.

Ce que l'exercice installe. La charge est l'aire sous $i(t)$ — c'est l'intensité lue comme un débit. Et un modèle se juge par ses cas limites : faire tendre une constante de temps vers zéro dit à quoi elle sert. On distingue aussi, une fois pour toutes, une puissance (instantanée) d'une énergie (intégrée dans le temps).