Le triphasé : 230 V, 400 V et pas de neutre

La stratégie. Les lois de Kirchhoff valent à chaque instant dans l'ARQS (au secteur, largement vérifiée). Les grandeurs sont ici des fonctions du temps : on écrit les lois pour des grandeurs algébriques variables, et l'on calcule avec la trigonométrie.

1) Le neutre ne porte rien. Par la formule d'addition, $\cos \left(a-\frac{2\pi }{3}\right)+\cos \left(a+\frac{2\pi }{3}\right)=2\cos a\cos \frac{2\pi }{3}=-\cos a$, puisque $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$. La somme des trois cosinus est donc nulle. (Les déphasages $-\frac{4\pi }{3}$ et $+\frac{2\pi }{3}$ sont égaux à $2\pi$ près, ce qui permet d'écrire la troisième phase avec $+\frac{2\pi }{3}$.) La loi des nœuds en $O$, avec $i_N$ le courant qui part de $O$ vers le neutre : $$i_N=i_1+i_2+i_3=I\sqrt{2}\left[\cos (\omega t)+\cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)+\cos \left(\omega t-\frac{4\pi }{3}\right)\right]=0.$$ Le fil de neutre ne transporte aucun courant quand les trois charges sont identiques : on peut le supprimer. Trois fils suffisent alors à transporter ce qui demanderait six fils en trois circuits monophasés indépendants — c'est l'économie qui justifie le triphasé sur les lignes de transport.

2) La tension composée. Par la formule de différence de deux cosinus, $$u_{12}=V\sqrt{2}\left[\cos (\omega t)-\cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]=-2V\sqrt{2}\sin \left(\omega t-\frac{\pi }{3}\right)\sin \frac{\pi }{3}=-\sqrt{3}V\sqrt{2}\sin \left(\omega t-\frac{\pi }{3}\right).$$ L'amplitude est $\sqrt{3}V\sqrt{2}$, la valeur efficace $\sqrt{3}V=\sqrt{3}\times 230\approx 398\mathrm{V}$. D'où « $230/400\mathrm{V}$ » : $230\mathrm{V}$ entre une phase et le neutre (tension simple, celle des prises domestiques), $400\mathrm{V}$ entre deux phases (tension composée, celle des moteurs industriels). C'est la même installation : une tension est toujours entre deux points, et le choix des deux points change sa valeur.

3) Une charge déséquilibrée. Sans la troisième résistance, $i_N=i_1+i_2=I\sqrt{2}\left[\cos (\omega t)+\cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)\right]$. Par la question 1, cette somme vaut $-I\sqrt{2}\cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)$ : l'amplitude est $I\sqrt{2}$, le neutre porte autant de courant qu'une phase. Dès que les charges diffèrent (chaque logement est sur une phase), le neutre est indispensable : sans lui, le potentiel de $O$ se déplacerait et les charges ne seraient plus sous $230\mathrm{V}$.

4) La puissance instantanée. Pour une résistance, $v_k=R{i}_k$, donc $v_k{i}_k=R{i}_k^2=2VI{\cos }^2({\theta }_k)$ avec ${\theta }_k=\omega t-\frac{2(k-1)\pi }{3}$. Avec ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$ : $$p(t)=\sum _{k}2VI{\cos }^2{\theta }_k=3VI+VI\sum _k\cos (2{\theta }_k).$$ Les angles $2{\theta }_k=2\omega t-\frac{4(k-1)\pi }{3}$ sont, à $2\pi$ près, $2\omega t$, $2\omega t+\frac{2\pi }{3}$ et $2\omega t-\frac{2\pi }{3}$ : leur somme de cosinus est nulle par la question 1. Donc $$p(t)=3VI,$$ constante. En monophasé, $v_1{i}_1=2VI{\cos }^2(\omega t)$ oscille entre $0$ et $2VI$ à $100\mathrm{Hz}$. Un moteur en monophasé reçoit une puissance pulsée, d'où un couple qui pulse à $100\mathrm{Hz}$ (vibrations, fatigue) ; en triphasé équilibré, puissance et couple sont constants. Homogénéité. $VI$ est un produit de volts et d'ampères : des watts.

Ce que l'exercice installe. La loi des nœuds s'écrit pour des courants variables et algébriques : une somme de trois courants non nuls peut être nulle à chaque instant. Une tension dépend des deux points choisis ; « le secteur » a deux tensions selon qu'on se branche entre phase et neutre ou entre deux phases. Et la puissance instantanée d'un ensemble peut être constante alors que chaque terme oscille.