Loi des nœuds et conservation de la charge

La stratégie. La loi des nœuds n'est pas un axiome : c'est la conservation de la charge appliquée à une surface qui n'en contient pas, ou dont la charge ne varie pas. On écrit donc le bilan général, puis on regarde ce qu'il devient dans chaque situation.

1) Le bilan de charge. La charge ne se crée ni ne se détruit ; celle qui est dans $\Sigma$ ne varie que par ce qui entre ou sort par les fils. Entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$, il entre par le fil $k$ la charge $i_k\mathrm{d}t$ (algébrique : négative si le courant sort). Donc $$Q_{\mathrm{int}}(t+\mathrm{d}t)-Q_{\mathrm{int}}(t)=\sum _k{i}_k\mathrm{d}t,\text{soit}\frac{\mathrm{d}{Q}_{\mathrm{int}}}{\mathrm{d}t}=\sum _k{i}_k.$$ On retrouve la loi des nœuds, ${\sum }_k{i}_k=0$, si et seulement si la charge intérieure ne varie pas. Pour un nœud (une simple jonction de fils, sans accumulation de charge), c'est le cas ; c'est aussi le cas pour toute surface qui entoure un dipôle neutre dans son ensemble.

2) Une armature seule. La surface contient une armature, de charge $q(t)$, et un seul fil la traverse. Le bilan donne $i=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t$ : le courant n'est pas nul dès que la charge varie. Il n'y a aucune contradiction : une armature n'est pas un nœud, c'est un endroit où la charge s'accumule. La loi des nœuds ne s'y applique pas, la conservation de la charge si.

3) Le condensateur entier. La surface contient maintenant $+q$ et $-q$ : $Q_{\mathrm{int}}=0$ à chaque instant, donc la somme des courants entrants est nulle. Avec $i_1$ entrant par un fil et $i_2$ entrant par l'autre, $i_1+i_2=0$ : ce qui entre par un fil ressort par l'autre, et l'on peut parler de « l'intensité qui traverse le condensateur », bien qu'aucune charge ne franchisse l'isolant. C'est ce qui autorise à le traiter comme un dipôle et à lui appliquer la loi des nœuds de l'extérieur. Le point délicat : il faut que les armatures portent à chaque instant des charges exactement opposées, ce que garantit l'ARQS.

4) La ligne à très haute tension. ARQS. La longueur d'onde à $50\mathrm{Hz}$ est $\lambda =c/f=3\times 10^8/50=6000\mathrm{km}$ : la ligne de $100\mathrm{km}$ en est un soixantième. L'ARQS est acceptable, et le raisonnement par bilan sur la ligne entière a un sens.

Le bilan. On entoure toute la ligne, conducteur compris : un courant entre à l'origine, un autre sort à l'extrémité, et la charge intérieure $q(t)=\Gamma u(t)$ varie. Le bilan de la question 1 donne $$i_{\mathrm{entr}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}-i_{\mathrm{sortie}}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\Gamma \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=-\Gamma \omega U_m\sin (\omega t),$$ d'amplitude $$\Gamma \omega U_m=10\times 10^{-9}\times 100\times 2\pi \times 50\times 3,3\times 10^5\approx 1,0\times 10^2\mathrm{A}.$$ Environ cent ampères, un dixième du courant nominal : la loi des nœuds, appliquée naïvement à « la ligne vue comme un fil », serait fausse de dix pour cent. La ligne n'est pas un nœud : elle stocke de la charge, comme une armature de condensateur dont l'autre armature est la terre.

Homogénéité. Des farads multipliés par des volts donnent des coulombs ; divisés par des secondes (le facteur $\omega$), des ampères.

5) Le câble souterrain. La capacité linéique est vingt fois plus grande (l'isolant est mince et la terre toute proche) : $\Gamma =0,2\times 10^{-6}\times 100=2\times 10^{-5}\mathrm{F}$, et $$\Gamma \omega U_m=2\times 10^{-5}\times 314\times 3,3\times 10^5\approx 2,1\times 10^3\mathrm{A}.$$ Le courant de charge du câble dépasse son courant nominal : le câble absorbe à lui seul toute sa capacité de transport, avant même d'alimenter quoi que ce soit au bout. En continu, $u$ est constante, $\mathrm{d}q/\mathrm{d}t=0$ : le câble se charge une fois pour toutes à la mise sous tension, et plus aucun courant ne sert à le recharger. D'où le courant continu des longues liaisons sous-marines, dont celle qui passe sous la Manche, malgré le coût des stations de conversion.

Ce que l'exercice installe. La loi des nœuds est un bilan de charge sur une surface fermée, valable quand la charge intérieure est constante. Face à un objet nouveau, on se demande s'il accumule de la charge : un nœud non, une armature oui, un condensateur entier non, une ligne longue oui. Et l'ordre de grandeur d'un terme négligé ($\Gamma \omega U_m$ devant le courant nominal) dit si l'on a le droit de le négliger.