Problème : les potentiels de nœuds et le théorème de Millman

1) Le courant d'une branche en fonction du potentiel de son extrémité. Parcourons la branche $k$ de $M$ vers $A$, dans le sens de $i_k$. La source élève le potentiel de $E_k$ (on va de sa borne $-$ à sa borne $+$) ; la résistance, traversée dans le sens du courant, l'abaisse de $R_k{i}_k$ (convention récepteur, $u=Ri$). La loi des mailles — ici la relation de Chasles le long de la branche — donne $$V_A-V_M=E_k-R_k{i}_k,\text{d’ouˋ}{i}_k=\frac{E_k-V_A}{R_k}.$$ Le signe. $i_k>0$ si et seulement si $E_k>V_A$ : la branche débite vers $A$ quand sa force électromotrice dépasse le potentiel du nœud. Dans le cas contraire, le courant la traverse à l'envers, et la source de la branche reçoit de la puissance : une batterie dans ce cas est rechargée.

2) La loi des nœuds devient une formule. Tous les $i_k$ sont comptés vers $A$ ; la loi des nœuds en $A$ s'écrit ${\sum }_k{i}_k=0$, soit, avec la question 1, $$\sum _k\frac{E_k-V_A}{R_k}=0⟺V_A\sum _k\frac{1}{R_k}=\sum _k\frac{E_k}{R_k}⟺V_A=\frac{{\sum }_k{E}_k/R_k}{{\sum }_{k}1/R_k}.$$ On a écrit une seule équation, pour une seule inconnue $V_A$ — le réseau a deux nœuds, donc $n-1=1$ potentiel inconnu. Avec les courants de branche pour inconnues, il aurait fallu $N$ équations : une loi des nœuds et $N-1$ lois des mailles. La loi des mailles n'a pas disparu : elle est déjà dans l'expression de chaque $i_k$ (question 1), et c'est pourquoi on ne l'écrit plus.

3) Une moyenne pondérée. Avec les conductances $G_k=1/R_k>0$, $V_A=\frac{{\sum }_k{G}_k{E}_k}{{\sum }_k{G}_k}$ est la moyenne des forces électromotrices pondérée par les conductances — le barycentre des $E_k$ affectés des poids $G_k$. Donc $$\underset{k}{\min }{E}_k\le V_A\le \underset{k}{\max }{E}_k,$$ en comptant les charges ($E_k=0$) parmi les branches : le potentiel du nœud est toujours compris entre la plus petite et la plus grande des forces électromotrices qui y aboutissent, et la branche de plus grande conductance « tire » le plus fort.

Homogénéité. Numérateur en volts par ohm, dénominateur en un par ohm : le quotient est en volts.

Cas limites.

• $R_j\to 0$ : $G_j\to \infty$ écrase tous les autres poids, et $V_A\to E_j$. Une source idéale (sans résistance) impose son potentiel au nœud, quoi qu'on y branche.
• $R_k\to \infty$ : $G_k\to 0$, la branche disparaît de la formule — elle est ouverte, elle ne porte aucun courant.
• Toutes les $E_k$ égales à $E$, sans charge : $V_A=E$, et chaque $i_k=0$. Des sources identiques en parallèle ne se débitent pas les unes dans les autres.
• Deux branches $(E,R_1)$ et $(0,R_2)$ : $V_A=\frac{E/R_1}{1/R_1+1/R_2}=\frac{R_2}{R_1+R_2}E$. C'est la formule du diviseur de tension, que le chapitre suivant établira autrement : elle est un cas particulier de la formule de Millman.

4) Des batteries en parallèle. Conductances : $G_1=50\mathrm{S}$, $G_2=40\mathrm{S}$, $G_3=25\mathrm{S}$ (le siemens, $\mathrm{S}$, est l'unité de conductance, $1\mathrm{S}=1{\Omega }^{-1}$).

Sans charge. $$V_A=\frac{50\times 12,7+40\times 12,5+25\times 12,1}{50+40+25}=\frac{1437,5}{115}=12,5\mathrm{V}.$$ D'où $i_1=(12,7-12,5)/0,020=+10\mathrm{A}$, $i_2=0$, $i_3=(12,1-12,5)/0,040=-10\mathrm{A}$. Vérification par la loi des nœuds : $10+0-10=0$. Sans rien alimenter, la batterie 1 débite en permanence $10\mathrm{A}$ dans la batterie 3 ; la source 1 fournit $127\mathrm{W}$, la source 3 en reçoit $121\mathrm{W}$, et $6\mathrm{W}$ sont dissipés dans les résistances internes. La batterie 2, dont la force électromotrice tombe exactement sur la moyenne pondérée, ne porte aucun courant.

Avec la charge $R=1,2\Omega$ ($G=0,83\mathrm{S}$, avec $E=0$) : $$V_A=\frac{1437,5}{115+0,83}\approx 12,41\mathrm{V},$$ puis $i_1\approx 14,5\mathrm{A}$, $i_2\approx 3,6\mathrm{A}$, $i_3\approx -7,8\mathrm{A}$, et la charge reçoit $V_A/R\approx 10,3\mathrm{A}$ ; la loi des nœuds est vérifiée : $14,5+3,6-7,8=10,3$. Même en alimentant une charge de plus de cent watts, la batterie 3 continue d'être rechargée : le courant qui circule entre les batteries est du même ordre que celui de la charge. C'est pourquoi on ne met en parallèle que des batteries identiques et dans le même état de charge ; sinon les plus chargées s'épuisent à recharger les autres, avec des pertes.

5) Un tramway entre deux sous-stations. Le nœud est le point de la ligne au droit de la rame ; la référence, les rails. Trois branches y aboutissent : vers $S_1$, une source $E$ en série avec $a(x)=r_s+\lambda x$ ; vers $S_2$, une source $E$ en série avec $b(x)=r_s+\lambda (L-x)$ ; la rame, une charge $R_T$. Par la formule de la question 2, $$V_T(x)=E\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{R_T}}.$$ La fraction est une fonction croissante de $s=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ (elle s'écrit $\frac{s}{s+1/R_T}=1-\frac{1/R_T}{s+1/R_T}$). Or $a+b=2r_s+\lambda L$ ne dépend pas de $x$, et $s=\frac{a+b}{ab}$ est minimale quand le produit $ab$ est maximal, à somme fixée, c'est-à-dire pour $a=b$, au milieu. La rame est le plus mal alimentée à mi-distance des sous-stations.

Numériquement :

• en $x=0$ : $a=0,03\Omega$, $b=0,23\Omega$, $V_T\approx 731\mathrm{V}$ ;
• en $x=L/2$ : $a=b=0,13\Omega$, $V_T\approx 704\mathrm{V}$, une chute de $6\%$ ; chaque sous-station débite $(750-704)/0,13\approx 352\mathrm{A}$ ; la rame reçoit $V_T^2/R_T\approx 0,50\mathrm{MW}$.

Si $S_2$ est hors service, la rame à $2\mathrm{km}$ de $S_1$ n'a plus qu'une branche d'alimentation, de résistance $r_s+\lambda L=0,23\Omega$ : $V_T=E\frac{1/0,23}{1/0,23+1}\approx 610\mathrm{V}$, une chute de $19\%$, et la puissance tombe à $0,37\mathrm{MW}$. Alimenter la ligne par les deux bouts divise la résistance « vue » par la rame et réduit la chute de tension d'un facteur trois : c'est pour cela que les sous-stations d'une ligne de tramway sont réparties tous les kilomètres ou deux, et que le réseau reste exploitable, en mode dégradé, quand l'une d'elles tombe en panne.

Cas limite. Si $R_T\to \infty$ (rame à l'arrêt, sans consommation), $V_T\to E$ : aucun courant, aucune chute.

6) Deux rames : la méthode des potentiels de nœuds. La généralisation. Si l'extrémité de la branche $k$ opposée à $A$ n'est pas la masse mais un nœud de potentiel $V_k$, la loi des mailles le long de la branche donne $V_A-V_k=E_k-R_k{i}_k$, donc $i_k=\frac{V_k+E_k-V_A}{R_k}$, et la loi des nœuds en $A$ donne $$V_A=\frac{{\sum }_k(V_k+E_k)/R_k}{{\sum }_{k}1/R_k}.$$ On l'écrit en chaque nœud dont le potentiel est inconnu : c'est la méthode des potentiels de nœuds. Chaque tension de branche y est une différence de potentiels, si bien que la somme des tensions le long d'une maille, $(V_A-V_B)+(V_B-V_C)+\cdots +(V_Z-V_A)$, est identiquement nulle : la loi des mailles est automatiquement vérifiée (relation de Chasles). Dans un réseau de $n$ nœuds, l'un fixé à zéro comme référence, il reste $n-1$ lois des nœuds pour $n-1$ potentiels inconnus.

Le réseau. Entre $S_1$ et $T_1$ : $a_1=r_s+\lambda x_1=0,08\Omega$ ; entre $T_1$ et $T_2$ : $c=\lambda (x_2-x_1)=0,10\Omega$, sans source ; entre $T_2$ et $S_2$ : $a_2=r_s+\lambda (L-x_2)=0,08\Omega$. Les deux relations de Millman s'écrivent $$V_1=\frac{\frac{E}{a_1}+\frac{V_2}{c}}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{c}+\frac{1}{R_1}},V_2=\frac{\frac{E}{a_2}+\frac{V_1}{c}}{\frac{1}{a_2}+\frac{1}{c}+\frac{1}{R_2}},$$ soit, en multipliant par les dénominateurs et en remplaçant par les valeurs ($1/a_1=1/a_2=12,5\mathrm{S}$, $1/c=10\mathrm{S}$), $$23V_1-10V_2=9375,-10V_1+24,5V_2=9375.$$ Le déterminant vaut $23\times 24,5-100=463,5$, et $$V_1=\frac{9375\times (24,5+10)}{463,5}\approx 698\mathrm{V},V_2=\frac{9375\times (23+10)}{463,5}\approx 667\mathrm{V}.$$ La rame qui accélère, $T_2$, est la plus mal alimentée : elle appelle $V_2/R_2\approx 1,33\mathrm{kA}$. Le courant de $T_1$ vers $T_2$ dans la ligne vaut $(V_1-V_2)/c\approx 303\mathrm{A}$ : une partie de ce que fournit $S_1$ (environ $652\mathrm{A}$) traverse le tronçon de $T_1$ pour aller alimenter $T_2$, tandis que $S_2$ en fournit environ $1,03\mathrm{kA}$.

Bilan de puissance. Les sources fournissent $E\times (652+1032)\approx 1,26\mathrm{MW}$ ; les rames reçoivent $V_1^2/R_1+V_2^2/R_2\approx 1,13\mathrm{MW}$ ; les résistances de ligne et de sous-station dissipent $\approx 0,13\mathrm{MW}$ ; et $1,13+0,13=1,26$. Environ $10\%$ de pertes en ligne, un ordre de grandeur réaliste pour une distribution en continu à basse tension.

Comparaison des méthodes. Le réseau a trois nœuds (rails compris) et cinq branches : cinq courants de branche (donc cinq équations) avec les intensités pour inconnues, contre deux potentiels ($n-1=2$) avec la méthode des nœuds.

Le résultat obtenu — le théorème de Millman. Dans un réseau de résistances et de sources idéales de tension (en régime continu, ou à chaque instant dans l'ARQS), le potentiel d'un nœud $A$ relié par des branches $k$ — chacune formée d'une résistance $R_k$ en série avec une source de force électromotrice $E_k$ orientée vers $A$ — à des nœuds de potentiels $V_k$ est la moyenne des $V_k+E_k$ pondérée par les conductances : $$V_A=\frac{{\sum }_k(V_k+E_k)/R_k}{{\sum }_{k}1/R_k}.$$ C'est la loi des nœuds écrite avec les potentiels pour inconnues ; écrite en chaque nœud de potentiel inconnu, elle constitue la méthode des potentiels de nœuds.

Ce que le problème installe. Deux idées. La première : choisir les potentiels pour inconnues rend la loi des mailles automatique et réduit le système à une équation par nœud inconnu. La seconde : la formule obtenue est une moyenne pondérée, ce qui donne sans calcul un encadrement du résultat, le comportement des cas limites (une source idéale impose son potentiel, une branche ouverte disparaît) et le diviseur de tension comme cas particulier.