électricité (PTSI) · Chapitre 1 · Application directe du cours

Qui charge qui ? Les câbles de démarrage

Charge, courant, tension : les circuits dans l'ARQS · niveau 2

Énoncé

Pour faire démarrer une voiture dont la batterie est faible, on la relie, par deux câbles, à la batterie d'une autre voiture : borne positive à borne positive, borne négative à borne négative. On modélise chaque batterie par une source idéale de tension en série avec une résistance (modèle donné ici, justifié au chapitre suivant) : la batterie $A$ (en bon état) a pour force électromotrice $E_{A} = 12, 6 V$ et pour résistance interne $r_{A} = 0, 02 Ω$ ; la batterie $B$ (faible) a $E_{B} = 11, 8 V$ et $r_{B} = 0, 05 Ω$ . Les deux câbles ont une résistance totale $r_{c} = 0, 01 Ω$ . On rappelle $u = R i$ pour une résistance en convention récepteur.

1) Le démarreur n'est pas actionné. Orienter le courant $i$ dans la boucle, de la borne positive de $A$ vers la borne positive de $B$ à travers le câble. Calculer $i$ par la loi des mailles. Quel est le signe de $i$ , et que signifie-t-il ? Calculer la tension aux bornes de chaque batterie.

2) Faire le bilan de puissance : puissance fournie par la source idéale de $A$ , reçue par celle de $B$ , dissipée dans les résistances. Vérifier la cohérence. Quel est le rôle de chaque batterie ?

3) On actionne le démarreur, modélisé par une résistance $R_{d} = 0, 06 Ω$ branchée aux bornes de $B$ . On appelle $i_{A}$ le courant débité par $A$ et $i_{B}$ celui débité par $B$ , tous deux orientés vers le démarreur (convention générateur pour chaque batterie). Exprimer le courant dans le démarreur, écrire deux lois des mailles et résoudre. Calculer la tension aux bornes du démarreur. Comparer au cas où $B$ serait seule.

4) Pour quelles valeurs de $R_{d}$ la batterie $B$ est-elle encore rechargée ? Vérifier que le cas limite $R_{d} \to \infty$ redonne la question 1.

Corrigé

La stratégie. On oriente avant de calculer, sans chercher à deviner le sens réel des courants ; on écrit les lois de Kirchhoff avec ces orientations ; le signe du résultat dit ensuite qui fournit et qui reçoit. Il n'y a rien à deviner : tout se lit.

1) Sans démarreur : une seule boucle. La boucle comprend la source $E_{A}$ , la résistance $r_{A}$ , le câble $r_{c}$ , la résistance $r_{B}$ et la source $E_{B}$ ; les bornes positives sont reliées entre elles, si bien que les deux sources sont en opposition le long de la boucle. Parcourons la boucle dans le sens de $i$ , de la borne positive de $A$ vers celle de $B$ par le câble. Dans ce sens, la source de $A$ élève le potentiel de $E_{A}$ , celle de $B$ l'abaisse de $E_{B}$ , et chaque résistance traversée dans le sens du courant l'abaisse de $R i$ . La loi des mailles s'écrit

$E_{A} - E_{B} - (r_{A} + r_{c} + r_{B}) i = 0, i = \frac{E _{A} - E _{B}}{r _{A} + r _{c} + r _{B}} = \frac{0 , 8}{0 , 08} = 10 A .$

Le signe est positif : le courant circule bien dans le sens choisi, il sort par la borne positive de $A$ et entre par la borne positive de $B$ . Aux bornes de $A$ , la tension vaut $E_{A} - r_{A} i = 12, 6 - 0, 2 = 12, 4 V$ ; aux bornes de $B$ , $E_{B} + r_{B} i = 11, 8 + 0, 5 = 12, 3 V$ ; les $0, 1 V$ d'écart sont perdus dans les câbles.

2) Le bilan de puissance. La source de $A$ est en convention générateur ( $i$ sort par sa borne $+$ ) : elle fournit $E_{A} i = 126 W$ . La source de $B$ est parcourue par $i$ entrant par sa borne $+$ , c'est-à-dire en convention récepteur : elle reçoit $E_{B} i = 118 W$ . Les résistances dissipent $(r_{A} + r_{c} + r_{B}) i^{2} = 0, 08 \times 100 = 8 W$ . Et

$126 W = 118 W + 8 W :$

la puissance fournie est exactement la puissance reçue. $A$ est générateur, $B$ est récepteur : $A$ recharge $B$ , avec un rendement de $118/126 \approx 94 %$ .

3) Avec le démarreur : deux mailles. Au nœud formé par la borne positive de $B$ , arrivent $i_{A}$ (par le câble) et $i_{B}$ (par la batterie $B$ ), et part le courant du démarreur : par la loi des nœuds, celui-ci vaut $i_{A} + i_{B}$ . Le réseau a deux nœuds (les deux bornes du démarreur) et trois branches, donc $3 - 2 + 1 = 2$ mailles indépendantes. On choisit :

la maille « batterie $A$ , câbles, démarreur » : $E_{A} - (r_{A} + r_{c}) i_{A} - R_{d} (i_{A} + i_{B}) = 0$ ;
la maille « batterie $B$ , démarreur » : $E_{B} - r_{B} i_{B} - R_{d} (i_{A} + i_{B}) = 0$ .

Numériquement, le système s'écrit

$0, 09 i_{A} + 0, 06 i_{B} = 12, 6, 0, 06 i_{A} + 0, 11 i_{B} = 11, 8.$

Son déterminant vaut $0, 09 \times 0, 11 - 0, 0 6^{2} = 0, 0063$ , et les formules de Cramer donnent

$i_{A} = \frac{12 , 6 \times 0 , 11 - 11 , 8 \times 0 , 06}{0 , 0063} \approx 108 A, i_{B} = \frac{0 , 09 \times 11 , 8 - 0 , 06 \times 12 , 6}{0 , 0063} \approx 48, 6 A .$

Le démarreur reçoit $156 A$ sous $R_{d} (i_{A} + i_{B}) \approx 9, 4 V$ . Le signe de $i_{B}$ est maintenant positif : $B$ débite, elle est devenue générateur. Seule, $B$ aurait fourni $E_{B} / (r_{B} + R_{d}) \approx 107 A$ sous $6, 4 V$ , sans doute pas assez pour lancer le moteur ; avec l'aide de $A$ , la tension aux bornes du démarreur remonte de trois volts.

4) Le seuil de changement de rôle. $B$ est rechargée tant que $i_{B} < 0$ . Le seuil $i_{B} = 0$ correspond à : $E_{B} = R_{d} i_{A}$ (deuxième maille) et $E_{A} - (r_{A} + r_{c}) i_{A} = R_{d} i_{A} = E_{B}$ (première maille), d'où

$i_{A} = \frac{E _{A} - E _{B}}{r _{A} + r _{c}} \approx 26, 7 A, R_{d} = \frac{E _{B}}{i _{A}} = \frac{E _{B} ( r _{A} + r _{c} )}{E _{A} - E _{B}} \approx 0, 44 Ω.$

Pour $R_{d} > 0, 44 Ω$ (une charge faible : phares, autoradio), $B$ continue d'être rechargée ; pour une charge plus forte, elle participe à l'alimentation. Cas limite. Si $R_{d} \to \infty$ , le démarreur ne prend plus de courant, $i_{A} + i_{B} \to 0$ , et la première maille moins la seconde redonne $E_{A} - E_{B} = (r_{A} + r_{c}) i_{A} - r_{B} i_{B}$ avec $i_{B} = - i_{A}$ : $i_{A} = 10 A$ , $i_{B} = - 10 A$ , c'est la question 1.

Ce que l'exercice installe. Algébriser, puis lire le signe : une batterie n'est pas « générateur » par nature, elle l'est ou ne l'est pas selon le circuit, et c'est le signe de la puissance qu'elle reçoit, dans une convention fixée une fois pour toutes, qui le dit. Le bilan de puissance (fournie $=$ reçue) est le contrôle naturel de tout calcul de circuit.

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