Aux deux bouts du temps

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les relations du cours, en convention récepteur : $i_C=C\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}$ pour le condensateur, $u_L=L\frac{\mathrm{d}{i}_L}{\mathrm{d}t}$ pour la bobine ; la continuité de $u_C$ et de $i_L$ ; les associations et le diviseur de tension. La stratégie : ne pas écrire d'équation différentielle. Aux deux instants qui nous intéressent, chaque composant se remplace par un dipôle très simple, et le circuit devient un circuit de résistances.

1) Le régime permanent continu. Si $u_C$ est constante, sa dérivée est nulle et $i_C=C\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}=0$ : aucun courant ne traverse le condensateur, qui se comporte comme un interrupteur ouvert. Si $i_L$ est constant, $u_L=L\frac{\mathrm{d}{i}_L}{\mathrm{d}t}=0$ : la bobine idéale a une tension nulle à ses bornes, elle se comporte comme un fil.

2) Les valeurs finales. Le circuit équivalent est : $R_1$ en série avec l'association parallèle de $R_2$ et de $R_3$ (la bobine est un fil, le condensateur une branche coupée). La résistance équivalente vaut $$R_{\parallel }=\frac{R_2{R}_3}{R_2+R_3}=\frac{2\times 1}{3}\mathrm{k\Omega }=0,667\mathrm{k\Omega },$$ et le diviseur de tension donne $$V_A=E\frac{R_{\parallel }}{R_1+R_{\parallel }}=12\times \frac{0,667}{1,667}=4,8\mathrm{V}.$$ D'où $i_L=V_A/R_3=4,8\mathrm{mA}$, et les énergies stockées : $$W_C=\frac{1}{2}C{V}_A^2=\frac{1}{2}\times 10^{-4}\times 4,8^2=1,15\mathrm{mJ},$$ $$W_L=\frac{1}{2}L{i}_L^2=\frac{1}{2}\times 0,1\times (4,8\times 10^{-3}{)}^2=1,15\mu \mathrm{J}.$$ Le rapport vaut exactement $10^3$, et ce n'est pas un hasard : comme $V_A=R_3{i}_L$, $$\frac{W_C}{W_L}=\frac{C{R}_3^2{i}_L^2}{L{i}_L^2}=\frac{R_3^{2}C}{L}=\frac{R_{3}C}{L/R_3}=\frac{0,1\mathrm{s}}{10^{-4}\mathrm{s}}=10^3.$$ Le rapport des énergies est le rapport de deux temps caractéristiques, $R_{3}C$ et $L/R_3$ : on retrouve l'homogénéité de l'exercice 1. Avec des résistances du kiloohm, un condensateur de $100\mu \mathrm{F}$ stocke beaucoup plus d'énergie qu'une bobine de $0,1\mathrm{H}$.

3) L'instant $t=0^{+}$. Avant la fermeture, $u_C=0$ et $i_L=0$. Par continuité, $u_C(0^{+})=0$ et $i_L(0^{+})=0$. À cet instant, le condensateur a une tension nulle quel que soit le courant qui le traverse : il se comporte comme un fil. La bobine a un courant nul quelle que soit sa tension : elle se comporte comme un interrupteur ouvert. C'est exactement l'inverse du régime permanent.

Le nœud $A$ est donc relié à la masse par le condensateur : $V_A(0^{+})=0$. La résistance $R_2$ n'est parcourue par aucun courant ($V_A/R_2=0$), la bobine non plus, et toute la tension $E$ se retrouve aux bornes de $R_1$ : $$i(0^{+})=\frac{E}{R_1}=12\mathrm{mA},i_C(0^{+})=12\mathrm{mA},i_{R_2}(0^{+})=i_L(0^{+})=0.$$ Le point délicat. La continuité porte sur $u_C$ et $i_L$, pas sur $i_C$ ni sur $u_L$ : le courant dans le condensateur saute de $0$ à $12\mathrm{mA}$ ; la tension aux bornes de la bobine, $V_A-R_3{i}_L$, pourrait sauter elle aussi (elle vaut ici $0$ à $t=0^{+}$ parce que $V_A(0^{+})=0$). Juste après la fermeture, le courant de la source vaut $12\mathrm{mA}$ ; longtemps après, il vaut $(E-V_A)/R_1=7,2\mathrm{mA}$, partagé en $2,4\mathrm{mA}$ dans $R_2$ et $4,8\mathrm{mA}$ dans la bobine. Entre les deux, le circuit évolue ; c'est l'objet du chapitre suivant.

4) Cas limites. On écrit $V_A=E\frac{R_{\parallel }}{R_1+R_{\parallel }}$ avec $R_{\parallel }=\frac{R_2{R}_3}{R_2+R_3}$.

• Si $R_3\to \infty$, la branche de la bobine est coupée, $R_{\parallel }\to R_2$ et $V_A\to E\frac{R_2}{R_1+R_2}=8\mathrm{V}$ : c'est le diviseur $R_1$, $R_2$ seul, comme attendu.
• Si $R_2\to 0$, le nœud $A$ est court-circuité à la masse : $R_{\parallel }\to 0$ et $V_A\to 0$, ce qui est cohérent.

Ce que l'exercice installe. Le réflexe le plus utile des chapitres suivants : en régime continu permanent, le condensateur est un interrupteur ouvert et la bobine un fil ; juste après une commutation, à cause de la continuité de $u_C$ et de $i_L$, un condensateur déchargé est un fil et une bobine sans courant un interrupteur ouvert. On obtient ainsi les valeurs initiales et finales d'un circuit sans écrire une seule équation différentielle. On retrouvera la même idée en régime sinusoïdal, à basse et à haute fréquence.