Ce que coûtent un farad et un henry

La stratégie. Trois formules données, quatre applications numériques : l'intérêt n'est pas le calcul mais ce qu'il révèle. On garde à chaque fois une puissance de dix en tête et l'on se demande quelle grandeur géométrique il faut pousser à l'extrême pour obtenir une valeur « usuelle ».

1) Les résistances. Pour le fil de cuivre, $S=1,5\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$ : $$R=\frac{{\rho }_{\mathrm{Cu}}\ell }{S}=\frac{1,7\times 10^{-8}\times 1}{1,5\times 10^{-6}}\approx 1,1\times 10^{-2}\Omega =11\mathrm{m\Omega }.$$ Pour le fil chauffant, la section vaut $S=\pi d^2/4=7,07\times 10^{-8}{\mathrm{m}}^2$, et la longueur nécessaire est $$\ell =\frac{RS}{{\rho }_{\mathrm{NiCr}}}=\frac{52,9\times 7,07\times 10^{-8}}{1,1\times 10^{-6}}\approx 3,4\mathrm{m},$$ d'où l'enroulement en zigzag du grille-pain. Homogénéité : $\Omega \mathrm{m}\times \mathrm{m}/{\mathrm{m}}^2$ donne bien des ohms.

Les fils de liaison d'un montage de travaux pratiques font quelques dizaines de centimètres et quelques milliohms : devant des résistances de l'ordre du kiloohm, ils sont négligeables d'un facteur $10^5$ ou $10^6$. C'est ce qui justifie le modèle du fil idéal, équipotentiel. Il cesse d'être valable quand le circuit lui-même ne contient que des fractions d'ohm, comme le démarreur d'une voiture.

2) Les capacités. Pour le condensateur à air : $$C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{e}=\frac{8,85\times 10^{-12}\times 10^{-4}}{10^{-3}}\approx 8,9\times 10^{-13}\mathrm{F}=0,89\mathrm{pF}.$$ Le farad est une unité énorme : une capacité de taille humaine se compte en picofarads. Pour obtenir $1\mu \mathrm{F}$ avec un film de $1\mu \mathrm{m}$ : $$S=\frac{Ce}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}=\frac{10^{-6}\times 10^{-6}}{8,85\times 10^{-12}\times 10}\approx 1,1\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2=113\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2,$$ et pour $1\mathrm{mF}$ avec $10\mathrm{nm}$ d'oxyde : $S=10^{-3}\times 10^{-8}/(8,85\times 10^{-11})\approx 0,11{\mathrm{m}}^2$.

On loge ces surfaces de deux façons : en enroulant de longues bandes de film métallisé (condensateurs à film), et en gravant la feuille d'aluminium de l'électrolytique pour multiplier sa surface réelle par un facteur de l'ordre de cent. La seconde clé est l'épaisseur : l'oxyde, de quelques nanomètres, gagne un facteur $10^5$ sur l'air de la question précédente.

3) Le supercondensateur. Un gramme de charbon offre $S=1000{\mathrm{m}}^2$ : $$\frac{C}{m}=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{e}=\frac{8,85\times 10^{-12}\times 10\times 10^3}{10^{-9}}\approx 89\mathrm{F}{\mathrm{g}}^{-1},$$ et une cellule de $3000\mathrm{F}$ demande $3000/89\approx 34\mathrm{g}$ de charbon. L'ordre de grandeur est le bon : les cellules commerciales de $3000\mathrm{F}$ pèsent environ un demi-kilogramme, boîtier, électrolyte et collecteurs compris. Le point délicat : une cellule réelle a deux électrodes, donc deux doubles couches en série, ce qui divise la capacité par deux à masse donnée ; l'estimation reste un ordre de grandeur, et c'est tout ce qu'on lui demande.

4) Le solénoïde. La section vaut $S=\pi (0,02{)}^2=1,26\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ : $$L=\frac{{\mu }_0{N}^{2}S}{\ell }=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 10^6\times 1,26\times 10^{-3}}{0,1}\approx 1,6\times 10^{-2}\mathrm{H}=15,8\mathrm{mH}.$$ Le fil fait $N\pi D=1000\times \pi \times 0,04\approx 126\mathrm{m}$ ; sa section vaut $\pi (0,25\times 10^{-3}{)}^2=1,96\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2$, d'où $$r=\frac{1,7\times 10^{-8}\times 126}{1,96\times 10^{-7}}\approx 10,9\Omega ,\frac{L}{r}\approx 1,45\times 10^{-3}\mathrm{s}.$$ Homogénéité : d'après $u=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$, un henry est un $\mathrm{V}\mathrm{s}{\mathrm{A}}^{-1}$, c'est-à-dire un $\Omega \mathrm{s}$ : le rapport $L/r$ est un temps. Ce sera la constante de temps d'un circuit comportant cette bobine, au chapitre suivant.

Ordre de grandeur et conclusion physique. Une bobine réelle de quelques dizaines de millihenrys a nécessairement une dizaine d'ohms de fil : le modèle de la bobine idéale est une approximation, et il faut presque toujours lui adjoindre une résistance en série. Un condensateur de quelques microfarads, lui, est très proche du modèle idéal.

Ce que l'exercice installe. Les ordres de grandeur des composants ne s'apprennent pas par cœur : ils se retrouvent par la géométrie. Le farad est énorme, ce qui explique les picofarads des câbles et des circuits intégrés ; un millihenry demande des centaines de spires ; une bobine réelle a une résistance. Et toute relation se contrôle par l'homogénéité : $L/r$ et, on le verra, $RC$ sont des temps.