Le potentiomètre chargé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le diviseur de tension, l'association de deux résistances et le résultat admis dans l'énoncé. La stratégie : plutôt que de recalculer le circuit chargé à chaque nouvelle charge, on remplace une fois pour toutes le potentiomètre par son modèle de Thévenin ; la charge n'est plus alors que le second élément d'un diviseur.

1) Le modèle de Thévenin. À vide, aucun courant ne sort par $C$ : les deux portions du potentiomètre sont en série, et le diviseur de tension donne

$$E_{\mathrm{th}}=E\frac{x{R}_p}{(1-x)R_p+x{R}_p}=xE.$$

Pour la résistance, on éteint la source : $A$ est relié à $B$ par un fil. Vu de $C$ et $B$, les deux portions $(1-x)R_p$ et $x{R}_p$ sont alors en parallèle :

$$R_{\mathrm{th}}=\frac{(1-x)R_p\cdot x{R}_p}{(1-x)R_p+x{R}_p}=x(1-x)R_p.$$

Le trinôme $x(1-x)$ s'annule aux deux extrémités et atteint son maximum $\frac{1}{4}$ en $x=\frac{1}{2}$ : $R_{\mathrm{th}}\le R_p/4$, avec égalité au milieu. Cas limites : en $x=0$, le curseur est sur $B$ et la sortie est un fil, $R_{\mathrm{th}}=0$ ; en $x=1$, il est sur $A$, relié directement à la source idéale, $R_{\mathrm{th}}=0$ aussi.

Le point délicat. Un diviseur de tension n'est pas une source idéale : il a une résistance de sortie, et elle n'est pas $R_p$ mais au plus $R_p/4$.

2) La sortie chargée. Le modèle de Thévenin et la charge forment un diviseur :

$$u_s=E_{\mathrm{th}}\frac{R_c}{R_c+R_{\mathrm{th}}}=xE\frac{R_c}{R_c+x(1-x)R_p}.$$

Avec $x=\frac{1}{2}$, $E_{\mathrm{th}}=5\mathrm{V}$ et $R_{\mathrm{th}}=2,5\mathrm{k\Omega }$. Pour $R_c=10\mathrm{k\Omega }$ : $u_s=5\times \frac{10}{12,5}=4,0\mathrm{V}$, une erreur de $20\%$. Pour l'oscilloscope : $u_s=5\times \frac{1000}{1002,5}=4,99\mathrm{V}$, une erreur de $0,25\%$.

Vérification sans Thévenin. Pour $R_c=10\mathrm{k\Omega }$, la portion basse de $5\mathrm{k\Omega }$ en parallèle avec $10\mathrm{k\Omega }$ vaut $3,33\mathrm{k\Omega }$, et le diviseur donne $10\times \frac{3,33}{5+3,33}=4,0\mathrm{V}$ : même résultat, mais il faut refaire tout le calcul pour chaque charge.

3) Le diviseur de forte résistance. Avec $R_p=10\mathrm{M\Omega }$ et $x=\frac{1}{2}$ : $R_{\mathrm{th}}=2,5\mathrm{M\Omega }$, et

$$u_s=5\times \frac{1}{1+2,5}\approx 1,43\mathrm{V}$$

au lieu de $5\mathrm{V}$ ! L'oscilloscope, réputé « de grande résistance d'entrée », fausse la mesure d'un facteur $3,5$. Une résistance d'entrée n'est grande que comparée à la résistance de sortie de ce qu'on mesure.

4) La condition générale. L'erreur relative vaut

$$\frac{xE-u_s}{xE}=\frac{R_{\mathrm{th}}}{R_c+R_{\mathrm{th}}}\le 0,01⟺R_c\ge 99R_{\mathrm{th}}.$$

Pour qu'elle soit vérifiée quel que soit $x$, il faut la vérifier pour la plus grande valeur de $R_{\mathrm{th}}$, soit $R_p/4$ : $R_c\ge \frac{99}{4}{R}_p\approx 25R_p$. Pour $R_p=10\mathrm{k\Omega }$ : $R_c\ge 248\mathrm{k\Omega }$. Homogénéité : la condition compare deux résistances. Cas limite : $R_c\to \infty$ redonne $u_s=xE$, le diviseur à vide.

Ce que l'exercice installe. Thévenin plutôt que la mise en équation brute : un montage qui délivre une tension se résume par deux nombres, et l'effet de toute charge se lit ensuite sur un diviseur. La règle pratique : pour qu'un appareil branché sur une sortie ne la perturbe pas à $1\%$ près, il faut que sa résistance d'entrée dépasse environ cent fois la résistance de sortie. On s'en servira pour chaque montage en cascade, et notamment pour les filtres.