Le réseau R-2R

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'association de deux résistances en série et en parallèle, le diviseur de courant $i_1=i\frac{R_2}{R_1+R_2}$. La stratégie : commencer par le bout, là où le réseau est le plus simple, et remonter. Un réseau qui paraît demander $n$ équations se résout en $n$ associations de deux résistances.

1) Les résistances vues. Au dernier nœud $N_{n-1}$, deux résistances $2R$ sont en parallèle vers la masse (la branche $n-1$ et la terminaison) : $$\frac{2R\times 2R}{2R+2R}=R.$$ Remontons d'un cran. Vu de $N_{n-2}$, la partie aval est la résistance $R$ vers $N_{n-1}$ en série avec la résistance $R$ que l'on vient de trouver : elle vaut $2R$. Elle est en parallèle avec la branche $n-2$, qui vaut aussi $2R$ : l'ensemble vu de $N_{n-2}$ vers la masse vaut encore $R$. La situation se reproduit à l'identique : si l'ensemble vu de $N_k$ vaut $R$, alors la partie aval de $N_{k-1}$ vaut $R+R=2R$, et l'ensemble vu de $N_{k-1}$ vaut $2R\parallel 2R=R$. Par récurrence descendante, la propriété vaut pour tous les nœuds, et en particulier la source voit une résistance $R$ : elle débite $V_{\mathrm{ref}}/R$.

2) La division par deux. À chaque nœud $N_k$ ($k<n-1$), le courant qui arrive se partage entre deux résistances égales, $2R$ pour la branche $k$ et $2R$ pour la partie aval : par le diviseur de courant, il se divise en deux moitiés égales. Au nœud $N_0$, le courant $V_{\mathrm{ref}}/R$ donne $I_0=\frac{V_{\mathrm{ref}}}{2R}$ dans la branche $0$ et autant vers l'aval ; au nœud $N_1$, ce dernier se divise encore, d'où $I_1=\frac{V_{\mathrm{ref}}}{4R}$, et ainsi de suite : $$I_k=\frac{V_{\mathrm{ref}}}{2R}{2}^{-k},V_{N_k}=2R{I}_k=\frac{V_{\mathrm{ref}}}{2^k}.$$ Au dernier nœud, le partage se fait entre la branche $n-1$ et la terminaison, encore deux résistances $2R$ : $I_{n-1}$ obéit à la même loi. Contrôle : le courant de la source vaut ${\sum }_{k=0}^{n-1}{I}_k$ plus le courant de terminaison, égal à $I_{n-1}$ ; la somme vaut $\frac{V_{\mathrm{ref}}}{2R}(1+\frac{1}{2}+\cdots +2^{-(n-1)}+2^{-(n-1)})=\frac{V_{\mathrm{ref}}}{2R}\times 2=\frac{V_{\mathrm{ref}}}{R}$, ce qui est cohérent avec la question 1. Pour $n=4$ et $V_{\mathrm{ref}}=1\mathrm{V}$, la méthode des potentiels de nœuds donne numériquement $1$ ; $0,5$ ; $0,25$ ; $0,125\mathrm{V}$.

3) Le convertisseur. Le point délicat est le potentiel de la sortie : elle est maintenue au potentiel de la masse, si bien que chaque branche $2R$ a toujours une extrémité au potentiel nul, qu'elle soit aiguillée vers la sortie ou vers la masse. Les courants $I_k$ ne dépendent donc pas des aiguillages, et le courant recueilli vaut $$I=\sum _{k=0}^{n-1}{b}_k{I}_k=\frac{V_{\mathrm{ref}}}{2R}\sum _{k=0}^{n-1}{b}_k{2}^{-k},$$ proportionnel au nombre binaire $b_0,b_1{b}_2\dots b_{n-1}$ (le chiffre $b_0$ ayant le plus grand poids). C'est le principe d'un convertisseur numérique-analogique. Maintenir la sortie à la masse tout en recueillant le courant demande un circuit actif, qui n'est pas étudié ici.

Pourquoi deux valeurs seulement ? Un convertisseur à poids binaires directs demanderait les résistances $R$, $2R$, $4R$, …, $2^{n-1}R$ : pour $n=12$, un rapport de $2048$ entre la plus grande et la plus petite, impossible à fabriquer avec la précision requise. Avec le réseau R-2R, il suffit que les résistances soient égales entre elles, ce que la gravure simultanée sur une même puce assure très bien ; leur valeur absolue importe peu, car seul le rapport $R$ sur $2R$ compte.

4) L'échelle infinie. Si l'on retire la première cellule (la résistance série $R$ et la résistance en dérivation $R$), ce qui reste est encore une échelle infinie identique, de résistance $R_{\infty }$. Le réseau complet est donc : $R$ en série avec l'association parallèle de $R$ et de $R_{\infty }$, $$R_{\infty }=R+\frac{R{R}_{\infty }}{R+R_{\infty }}.$$ En multipliant par $R+R_{\infty }$ : $R_{\infty }^2-R{R}_{\infty }-R^2=0$, dont la seule racine positive est $$R_{\infty }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}R\approx 1,618R,$$ le nombre d'or. Homogénéité et encadrement : $R_{\infty }$ est une résistance, et elle est comprise entre $R$ (première résistance seule) et $2R$ (première cellule seule, en coupant le reste), ce qui est cohérent.

Ce que l'exercice installe. Associer de proche en proche, en partant du bout : c'est la méthode la plus rapide pour un réseau en échelle, et elle donne au passage la répartition des courants par des diviseurs successifs. L'autosimilarité, elle, transforme un réseau infini en une équation : on la retrouvera pour les lignes de transmission et les filtres en cascade.