Montage amont ou aval ?

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le modèle d'un appareil de mesure comme une résistance (sa résistance d'entrée), les associations série et parallèle. La stratégie : dans chaque montage, identifier ce que mesure vraiment chaque appareil, en le traitant comme un dipôle du circuit.

1) Montage aval. Le voltmètre mesure exactement la tension aux bornes de $R$ ; mais l'ampèremètre mesure le courant total, qui se partage entre $R$ et le voltmètre. Le rapport $U/I$ est donc la résistance de l'association parallèle : $$R_{\mathrm{mes}}=\frac{R{R}_V}{R+R_V},\frac{R_{\mathrm{mes}}-R}{R}=-\frac{R}{R+R_V}\approx -\frac{R}{R_V}.$$ L'erreur est par défaut, et petite si $R\ll R_V$.

2) Montage amont. L'ampèremètre mesure exactement le courant dans $R$ ; mais le voltmètre mesure la tension aux bornes de $R$ et de l'ampèremètre : $$R_{\mathrm{mes}}=R+R_A,\frac{R_{\mathrm{mes}}-R}{R}=\frac{R_A}{R}.$$ L'erreur est par excès, et petite si $R\gg R_A$.

3) La résistance critique. Les erreurs relatives sont égales en valeur absolue, au premier ordre, si $\frac{R}{R_V}=\frac{R_A}{R}$, soit $R^2=R_A{R}_V$ : $$R_c=\sqrt{R_A{R}_V}=\sqrt{1\times 10^7}\approx 3,2\mathrm{k\Omega }.$$ Règle : pour $R<R_c$, l'erreur du montage aval, proportionnelle à $R$, est la plus petite : on prend le montage aval pour les petites résistances. Pour $R>R_c$, on prend le montage amont pour les grandes. Homogénéité : $\sqrt{R_A{R}_V}$ est une moyenne géométrique de deux résistances, donc une résistance.

4) Applications.

• $R=100\Omega$ : aval, $-\frac{100}{10^7}=-1\times 10^{-5}$ ; amont, $\frac{1}{100}=1\%$. Le montage aval est mille fois meilleur.
• $R=1,0\mathrm{M\Omega }$ : aval, $-\frac{10^6}{1,1\times 10^7}\approx -9,1\%$ ; amont, $\frac{1}{10^6}=1\times 10^{-6}$. Le montage amont l'emporte largement.

Un voltmètre se branche en dérivation : pour ne pas détourner de courant, il doit présenter une résistance d'entrée grande devant la résistance du circuit qu'il observe. Un ampèremètre se branche en série : pour ne pas prélever de tension, il doit présenter une résistance petite. Le voltmètre idéal est un interrupteur ouvert, l'ampèremètre idéal un fil.

Ordre de grandeur. Un multimètre usuel a $R_V=10\mathrm{M\Omega }$ ; sa résistance sur le calibre ampèremètre va de quelques centièmes d'ohm (calibre $10\mathrm{A}$) à une centaine d'ohms (calibre microampère) : $R_A$ dépend du calibre, et $R_c$ aussi. La notice de l'appareil le précise : c'est elle qu'il faut consulter.

Ce que l'exercice installe. Un appareil de mesure est un dipôle du circuit, et toute mesure le perturbe ; on choisit le montage qui rend la perturbation négligeable, en comparant la résistance mesurée à une résistance de référence. On retrouvera exactement ce raisonnement avec l'oscilloscope et sa capacité d'entrée en régime sinusoïdal.