Problème : le pont de Wheatstone

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le diviseur de tension, l'association de deux résistances, le modèle de Thévenin d'un réseau admis dans l'énoncé, la notion de résistance d'entrée. La stratégie : traiter chaque bras comme un diviseur indépendant, puisque chacun est soumis à la tension $E$ de la source idéale, puis ramener tout le pont à une source de Thévenin vue du détecteur.

1) La tension à vide et l'équilibre. Sans détecteur, aucun courant ne sort par $C$ ni par $D$. Chaque bras est soumis à la tension $E$ imposée par la source idéale, et forme un diviseur : $$V_C=E\frac{R_2}{R_1+R_2},V_D=E\frac{R_4}{R_3+R_4},u_{CD}=E(\frac{R_2}{R_1+R_2}-\frac{R_4}{R_3+R_4}).$$ En réduisant au même dénominateur : $$u_{CD}=E\frac{R_2(R_3+R_4)-R_4(R_1+R_2)}{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}=E\frac{R_2{R}_3-R_1{R}_4}{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}.$$ Le pont est équilibré si et seulement si le numérateur s'annule : $$\boxed{R_1{R}_4=R_2{R}_3}.$$ Cette condition ne fait pas intervenir $E$ : elle reste vraie si la source fluctue. Et si $u_{CD}=0$ à vide, alors $C$ et $D$ sont au même potentiel ; un appareil branché entre eux, quelle que soit sa résistance, n'est soumis à aucune tension et n'est parcouru par aucun courant : il ne modifie rien. L'équilibre ne dépend ni de $E$ ni du détecteur. C'est l'usage historique du pont : on place une résistance inconnue $R_2$, on règle une résistance étalonnée $R_1$ jusqu'à ce que le galvanomètre ne dévie plus, et l'on lit $R_2=R_1{R}_4/R_3$. Le montage, décrit par Christie en 1833, a été popularisé par Wheatstone en 1843.

2) Le modèle de Thévenin vu du détecteur. La force électromotrice est la tension à vide : $E_{\mathrm{th}}=u_{CD}$, calculée au 1).

Pour la résistance, on éteint la source : $A$ est relié à $B$ par un fil. Le point délicat est de redessiner le circuit. Les points $A$ et $B$ étant confondus en un seul nœud, que l'on appelle $M$, la résistance $R_1$ (de $C$ à $A$) et la résistance $R_2$ (de $C$ à $B$) relient toutes deux $C$ à $M$ : elles sont en parallèle. De même, $R_3$ et $R_4$ relient toutes deux $D$ à $M$ : en parallèle. Et le trajet de $C$ à $D$ passe par $M$ : ces deux associations sont en série. D'où $$R_{\mathrm{th}}=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}+\frac{R_3{R}_4}{R_3+R_4}.$$ Le détecteur forme avec cette source un circuit à une seule maille : $$i_d=\frac{E_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}}+R_d},u_d=E_{\mathrm{th}}\frac{R_d}{R_{\mathrm{th}}+R_d}.$$

3) Le quart de pont. Avec $R_1=R_3=R_4=R$ et $R_2=R(1+\delta )$ : $$u_{CD}=E(\frac{1+\delta }{2+\delta }-\frac{1}{2})=E\frac{2(1+\delta )-(2+\delta )}{2(2+\delta )}=\frac{E\delta }{2(2+\delta )}.$$ Pour $\delta \ll 1$, $2+\delta \simeq 2$ et $u_{CD}\simeq \frac{E\delta }{4}$. Plus précisément, $\frac{E\delta }{2(2+\delta )}=\frac{E\delta }{4}\cdot \frac{1}{1+\delta /2}$ : la linéarisation surestime $u_{CD}$ d'une fraction relative voisine de $\delta /2$.

Numériquement, $\delta =K\epsilon =2,0\times 5\times 10^{-4}=1,0\times 10^{-3}$ : la résistance de la jauge ne varie que de $0,35\Omega$ sur $350\Omega$. Alors $$u_{CD}\simeq \frac{5,0\times 10^{-3}}{4}=1,25\mathrm{mV},$$ la valeur exacte étant $1,2494\mathrm{mV}$ ; l'écart relatif vaut $5\times 10^{-4}$, conformément à $\delta /2$. Une déformation de $5\times 10^{-4}$, c'est un allongement d'un demi-millimètre sur un mètre de poutre : la limite d'élasticité d'un acier courant correspond à une déformation de l'ordre de $10^{-3}$.

4) L'influence du détecteur. La résistance de Thévenin vaut, pour $\delta \ll 1$, $R_{\mathrm{th}}\simeq \frac{R}{2}+\frac{R}{2}=R=350\Omega$.

• Voltmètre de $10\mathrm{M\Omega }$ : $u_d=u_{CD}\frac{10^7}{10^7+350}$, soit une erreur relative de $3,5\times 10^{-5}$. Négligeable : le voltmètre lit $1,249\mathrm{mV}$.
• Galvanomètre de $100\Omega$ : $i_d=\frac{1,249\times 10^{-3}}{350+100}\approx 2,8\mu \mathrm{A}$. Un galvanomètre sensible détecte le microampère ; mais la tension à ses bornes n'est plus que $0,28\mathrm{mV}$ : il ne mesure pas la tension à vide, il signale un déséquilibre. C'est pourquoi on l'utilise en méthode de zéro, là où son effet de charge n'a plus aucune importance puisque le courant est nul à l'équilibre.

5) Le pont contre le simple diviseur. Dans un diviseur formé de $R$ et de la jauge sous $E=5\mathrm{V}$, la tension aux bornes de la jauge vaut $$u_2=E\frac{R(1+\delta )}{R+R(1+\delta )}=E\frac{1+\delta }{2+\delta }\approx 2,5012\mathrm{V},$$ soit $2,5\mathrm{V}$ au repos plus $1,25\mathrm{mV}$ : le signal utile est le même, mais il est posé sur un fond de $2,5\mathrm{V}$, deux mille fois plus grand. Une fluctuation de $1\%$ de $E$ déplace ce fond de $25\mathrm{mV}$, vingt fois le signal : la mesure est perdue. Dans le pont, au contraire, le fond a été retranché par le second bras : $u_{CD}=E\delta /4$ est proportionnelle à $\delta$, nulle au repos, et la même fluctuation de $1\%$ de $E$ n'y produit qu'une erreur relative de $1\%$, soit $12,5\mu \mathrm{V}$. Le pont mesure une différence entre deux diviseurs, et c'est ce qui fait sa force : tout ce qui affecte les deux de la même façon s'élimine.

Le même argument règle la question de la température. La résistance d'une jauge varie aussi avec la température, et l'effet peut être du même ordre que celui de la déformation. Si l'on remplace $R_1$ par une jauge identique, collée sur la même pièce mais dans une direction où elle ne subit pas la déformation, les deux jauges du bras gauche sont multipliées par le même facteur thermique $(1+\theta )$ ; le rapport $\frac{R_2}{R_1+R_2}$, donc $V_C$, ne change pas. La dérive thermique se compense, et seule la déformation déséquilibre le pont. C'est l'idée qu'appliquent tous les capteurs de pesage, et aussi les montages à thermistance : un simple diviseur à thermistance donne une tension qui passe de $3,3\mathrm{V}$ à froid à $0,83\mathrm{V}$ à chaud, sans zéro de référence, alors qu'un pont fixe le zéro à la température choisie.

6) Homogénéité, cas limites et résultat. $u_{CD}=E\delta /4$ est une tension, puisque $\delta$ est sans dimension ; $R_{\mathrm{th}}$ est une somme de résistances équivalentes ; $i_d$ est une tension divisée par une résistance.

• $\delta \to 0$ : $u_{CD}\to 0$, le quart de pont au repos est équilibré, et l'on vérifie que $R_1{R}_4=R\cdot R=R_2{R}_3$.
• $R_d\to \infty$ (voltmètre idéal) : $u_d\to E_{\mathrm{th}}$, on lit la tension à vide.
• $R_d\to 0$ (ampèremètre idéal) : $i_d\to E_{\mathrm{th}}/R_{\mathrm{th}}$, courant de court-circuit du modèle de Thévenin, soit $3,6\mu \mathrm{A}$ dans le quart de pont.

Le résultat obtenu — l'équilibre du pont de Wheatstone. Un pont de quatre résistances alimenté par une source idéale est équilibré, c'est-à-dire que la tension entre les milieux de ses deux bras est nulle, si et seulement si $R_1{R}_4=R_2{R}_3$ ; cette condition ne dépend ni de la tension d'alimentation ni de l'appareil de détection. Au voisinage de l'équilibre, un quart de pont dont une résistance varie de la fraction $\delta$ délivre la tension $u\simeq E\delta /4$, proportionnelle à $\delta$, sous la résistance de sortie $R_{\mathrm{th}}\simeq R$.

Ce que le problème installe. Trois idées qui dépassent ce chapitre. La première : une mesure de zéro bat une mesure directe, car elle rend le résultat indépendant de la source et de l'appareil. La deuxième : mesurer une différence élimine ce qui est commun ; c'est le principe de toute mesure différentielle, de l'oscilloscope en mode « soustraction » aux capteurs compensés en température. La troisième : Thévenin vu du détecteur sépare proprement ce qui vient du réseau (la source $E_{\mathrm{th}}$ et la résistance $R_{\mathrm{th}}$) et ce qui vient de l'appareil (sa résistance d'entrée), ce qui permet de juger d'un coup d'œil si l'appareil perturbe la mesure.