électricité (PTSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Circuit à deux mailles : le Thévenin vu du condensateur

Le circuit linéaire du premier ordre · B. Mise en équation · niveau 2

Énoncé

Un générateur idéal $E = 10 V$ alimente, par un interrupteur $K$ et une résistance $R_{1} = 1, 0 kΩ$ , un nœud $A$ ; entre $A$ et la masse sont branchés en parallèle une résistance $R_{2} = 4, 0 kΩ$ et un condensateur $C = 2, 0 μ F$ , initialement déchargé. On note $i_{1}$ le courant dans $R_{1}$ (vers $A$ ), $i_{2}$ celui dans $R_{2}$ et $i_{C}$ celui dans le condensateur (tous deux de $A$ vers la masse), $u_{C} = V_{A}$ la tension du condensateur. On ferme $K$ à $t = 0$ .

On rappelle (notion donnée, vue au chapitre des dipôles) que, vu de deux bornes, un réseau de sources idéales et de résistances se comporte comme un générateur de Thévenin : une source de f.é.m. $E_{th}$ en série avec une résistance $R_{th}$ , où $E_{th}$ est la tension entre les bornes laissées ouvertes, et $R_{th}$ la résistance vue de ces bornes quand on éteint les sources (une source de tension éteinte est remplacée par un fil).

1) Établir, par la loi des nœuds en $A$ , l'équation différentielle vérifiée par $u_{C}$ ; la mettre sous la forme $τ u ˙_{C} + u_{C} = u_{\infty}$ et identifier $τ$ et $u_{\infty}$ .

2) Retrouver ce résultat sans équation, en remplaçant tout ce que « voit » le condensateur par son générateur de Thévenin.

3) Donner $u_{C} (t)$ , les courants $i_{1} (0^{+})$ et $i_{C} (0^{+})$ . Vérifier les cas limites $R_{2} \to \infty$ et $R_{2} \to 0$ .

4) Le régime permanent atteint, on rouvre $K$ . Quelle est la nouvelle constante de temps ? Pourquoi la décharge est-elle plus lente que la charge ?

5) Application à la mesure. On observe la charge d'un circuit RC série ( $R = 100 kΩ$ , $C = 10 nF$ , échelon $E$ ) à l'oscilloscope, dont l'entrée équivaut à une résistance $R_{e} = 1 MΩ$ branchée en parallèle sur $C$ . Quelles valeurs de $τ$ et de $u_{\infty}$ mesure-t-on ? Quelle erreur relative ? Comment s'en affranchir ?

Corrigé

La stratégie. Deux chemins mènent à la même équation : la loi des nœuds, qui marche toujours, et l'équivalent de Thévenin, qui donne le résultat en une ligne et, surtout, explique sa forme. On fait les deux, et l'on retiendra le second.

1) Loi des nœuds. En $A$ : $i_{1} = i_{2} + i_{C}$ . On exprime chaque courant en fonction de la seule inconnue $u_{C}$ : $i_{1} = \frac{E - u _{C}}{R _{1}}$ (loi d'Ohm sur $R_{1}$ , dont les bornes sont aux potentiels $E$ et $u_{C}$ ), $i_{2} = \frac{u _{C}}{R _{2}}$ , $i_{C} = C u ˙_{C}$ . D'où $\frac{E - u _{C}}{R _{1}} = \frac{u _{C}}{R _{2}} + C u ˙_{C} ⟺ C u ˙_{C} + (\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}) u_{C} = \frac{E}{R _{1}} .$ On multiplie par $\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ pour mettre $u_{C}$ seul : $\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} C u ˙_{C} + u_{C} = \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} E, soit τ = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} C, u_{\infty} = \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} E .$ Numériquement : $\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{1 \times 4}{5} = 0, 80 kΩ$ , donc $τ = 0, 80 \times 1 0^{3} \times 2, 0 \times 1 0^{- 6} = 1, 6 ms$ , et $u_{\infty} = \frac{4}{5} \times 10 = 8, 0 V$ .

2) Le Thévenin vu de $C$ . On débranche le condensateur et l'on regarde le reste du circuit depuis ses bornes $A$ et masse. La tension à vide est celle du diviseur de tension $R_{1}$ , $R_{2}$ : $E_{th} = \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} E = 8, 0 V$ . La source éteinte devient un fil : vues de $A$ , $R_{1}$ et $R_{2}$ sont alors en parallèle, $R_{th} = R_{1} ∥ R_{2} = 0, 80 kΩ$ . Le condensateur « voit » donc un simple circuit RC série, de source $E_{th}$ et de résistance $R_{th}$ : c'est le circuit du cours, avec $τ = R_{th} C$ et $u_{\infty} = E_{th}$ . Le circuit à deux mailles n'est qu'un circuit à une maille déguisé.

3) La solution. Continuité : $u_{C} (0^{+}) = 0$ . D'où $u_{C} (t) = E_{th} (1 - e^{- t / τ}) = 8, 0 (1 - e^{- t /1, 6 ms}) V .$ En $0^{+}$ , $u_{C} = 0$ : le condensateur est un fil qui court-circuite $R_{2}$ , donc $i_{2} (0^{+}) = 0$ et $i_{1} (0^{+}) = i_{C} (0^{+}) = \frac{E}{R _{1}} = 10 mA .$ Cas limites. Si $R_{2} \to \infty$ (branche absente), $τ \to R_{1} C$ et $u_{\infty} \to E$ : on retrouve le RC série. Si $R_{2} \to 0$ , $τ \to 0$ et $u_{\infty} \to 0$ : le condensateur est court-circuité, il ne se charge pas. Les deux limites sont physiquement attendues, ce qui valide les formules.

4) La décharge. Une fois $K$ ouvert, $R_{1}$ n'est plus relié à rien ; le condensateur, chargé à $8, 0 V$ , se décharge dans la seule $R_{2}$ : $τ^{'} = R_{2} C = 8, 0 ms$ , cinq fois plus que la charge. La raison est dans le Thévenin : à la charge, le condensateur voit $R_{1} ∥ R_{2}$ , plus petite que $R_{1}$ comme que $R_{2}$ ; à la décharge il ne voit que $R_{2}$ . La constante de temps est celle du circuit vu par l'élément réactif, et ce circuit change quand on manœuvre un interrupteur.

5) L'oscilloscope qui perturbe la mesure. L'oscilloscope branché sur $C$ joue exactement le rôle de $R_{2}$ , avec $R_{1} = R = 100 kΩ$ et $R_{2} = R_{e} = 1 MΩ$ . On mesure donc $τ_{mes} = (R ∥ R_{e}) C = \frac{100 \times 1000}{1100} kΩ \times 10 nF = 0, 909 ms au lieu de 1, 00 ms,$ $u_{\infty, mes} = \frac{R _{e}}{R + R _{e}} E = 0, 909 E .$ L'erreur relative est de $- 9, 1 %$ sur les deux grandeurs. Elle est de l'ordre de $R / R_{e}$ : elle est négligeable quand la résistance du circuit est très petite devant la résistance d'entrée de l'appareil. Pour s'en affranchir, on choisit $R ≪ R_{e}$ (par exemple $R = 1 kΩ$ avec $C = 1 μ F$ : même $τ$ , erreur de $0, 1 %$ ), ou l'on utilise une sonde atténuatrice de résistance d'entrée $10 MΩ$ .

Ce que l'exercice installe. Face à un circuit à plusieurs mailles contenant un élément réactif, on ne pose pas de système : on remplace le reste par son générateur de Thévenin, et l'on lit $τ = R_{th} C$ (ou $L / R_{th}$ ) et la valeur finale $E_{th}$ . La constante de temps n'est pas une propriété du condensateur mais du circuit qu'il voit — ce qui explique qu'une charge et une décharge n'aient pas la même durée, et qu'un appareil de mesure modifie ce qu'il mesure.

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