Deux condensateurs reliés par une résistance

La stratégie. L'état final se trouve par une loi de conservation, sans résoudre. Le bilan d'énergie se fait ensuite entre les deux états d'équilibre ; la résolution de l'équation ne sert qu'à vérifier que l'énergie manquante est bien passée dans la résistance.

1) La conservation de la charge. Les armatures hautes des deux condensateurs, reliées par $R$, forment avec ce fil un ensemble isolé : aucune autre branche n'y aboutit. La charge qu'elles portent, $q_1+q_2=C_1{u}_1+C_2{u}_2$, se conserve donc. Formellement : ${\dot{q}}_1=-i$ et ${\dot{q}}_2=+i$, donc ${\dot{q}}_1+{\dot{q}}_2=0$. À l'état final, aucun courant ne circule dans $R$, donc $u_1=u_2=U_f$ :

$$C_{1}E=(C_1+C_2)U_f⟹U_f=\frac{C_1}{C_1+C_2}E=\frac{100}{400}\times 20=5,0\mathrm{V}.$$

2) L'énergie perdue.

$${\mathcal{E}}_i=\frac{1}{2}{C}_1{E}^2=20\mathrm{mJ},{\mathcal{E}}_f=\frac{1}{2}(C_1+C_2)U_f^2=\frac{1}{2}\frac{C_1^2{E}^2}{C_1+C_2}=5,0\mathrm{mJ}.$$

La différence :

$$\begin{array}{rl}{W}_{\mathrm{perdue}}& =\frac{1}{2}{C}_1{E}^2\left(1-\frac{C_1}{C_1+C_2}\right)\\ & =\frac{1}{2}\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}{E}^2\\ & =15\mathrm{mJ},\end{array}$$

soit une fraction $\frac{C_2}{C_1+C_2}=75\%$. La charge se conserve, l'énergie non.

3) La vérification par l'équation. La loi des mailles donne $u_1=Ri+u_2$, soit $u=Ri$. Dérivons : $\dot{u}={\dot{u}}_1-{\dot{u}}_2=-\frac{i}{C_1}-\frac{i}{C_2}=-\frac{i}{C_s}$, en notant $C_s=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$ la capacité équivalente aux deux condensateurs en série dans la maille. Avec $i=u/R$ :

$$R{C}_s\dot{u}+u=0,\tau =R{C}_s=10^3\times 75\times 10^{-6}=75\mathrm{ms}.$$

Avec $u(0^{+})=E$ (continuité des deux tensions), $u(t)=E{e}^{-t/\tau }$ et $i(t)=\frac{E}{R}{e}^{-t/\tau }$. L'énergie dissipée :

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }R{i}^2\mathrm{d}t& =\frac{E^2}{R}{\int }_0^{\infty }{e}^{-2t/\tau }\mathrm{d}t\\ & =\frac{E^2}{R}\cdot \frac{\tau }{2}\\ & =\frac{1}{2}{C}_s{E}^2\\ & =15\mathrm{mJ}.\end{array}$$

Le bilan est fermé : toute l'énergie manquante a été dissipée par effet Joule.

4) Le paradoxe de $R\to 0$. L'énergie perdue $\frac{1}{2}{C}_s{E}^2$ ne dépend pas de $R$. Diminuer $R$ raccourcit $\tau$ et augmente le courant initial $E/R$, mais l'intégrale $\int R{i}^2\mathrm{d}t$ reste la même : $R$ ne fixe que l'échelle des temps. Si l'on fait $R\to 0$, on obtient une contradiction apparente : un courant infini pendant un temps nul, et $15\mathrm{mJ}$ dissipés dans une résistance nulle. La résolution est que le modèle cesse d'être valable : le fil de liaison a une inductance (le circuit oscille et rayonne), les condensateurs ont une résistance interne, et une étincelle jaillit à la connexion. L'énergie se retrouve dans ces phénomènes, quel que soit le mécanisme : elle est fixée par les seuls états initial et final.

5) Deux cas particuliers. Si $C_2=C_1$ : $U_f=E/2$ et la fraction perdue vaut $\frac{1}{2}$ — la moitié de l'énergie disparaît. Si $C_1\to \infty$, $C_1$ se comporte comme une source idéale de tension $E$ ; alors $U_f\to E$ et $W_{\mathrm{perdue}}\to \frac{1}{2}{C}_2{E}^2$ : la résistance dissipe exactement l'énergie stockée dans $C_2$. C'est le résultat du cours sur la charge d'un condensateur par une source idéale, retrouvé comme cas limite.

Ce que l'exercice installe. L'état final d'un réseau de condensateurs se trouve par conservation de la charge sur une partie isolée, jamais par conservation de l'énergie. L'énergie perdue se calcule entre les états d'équilibre et ne dépend pas du mécanisme dissipatif. Et devant un paradoxe de limite ($R\to 0$), on ne conclut pas que la physique est fausse, mais que le modèle a cessé de s'appliquer.