Établissement du courant dans une bobine : le bilan de puissance

La stratégie. Un bilan d'énergie s'obtient toujours de la même façon : on multiplie la loi des mailles (des tensions) par le courant, et chaque terme devient une puissance. On regarde alors non seulement les totaux, mais la façon dont chaque puissance évolue dans le temps.

1) Le courant. Loi des mailles : $E=Ri+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$, soit $\frac{L}{R}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+i=\frac{E}{R}$. Avec $i(0^{+})=i(0^{-})=0$ (continuité du courant dans la bobine) :

$$i(t)=I\left(1-e^{-t/\tau }\right),\tau =\frac{L}{R}=\frac{0,30}{6,0}=50\mathrm{ms},I=\frac{E}{R}=2,0\mathrm{A}.$$

2) Le bilan de puissance. En multipliant par $i$ :

$$\begin{array}{rl}Ei& =R{i}^2+Li\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\\ & =R{i}^2+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}L{i}^2\right).\end{array}$$

Le terme $Ei$ est la puissance fournie par le générateur ; $R{i}^2$ la puissance dissipée par effet Joule ; $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}L{i}^2\right)$ la puissance reçue par la bobine, qui sert à augmenter son énergie magnétique. À chaque instant : puissance fournie $=$ puissance dissipée $+$ variation de l'énergie stockée.

3) La puissance reçue par la bobine. Posons $x=e^{-t/\tau }$ ; alors $i=I(1-x)$ et $\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\frac{I}{\tau }x$, d'où

$$P_L=Li\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\frac{L{I}^2}{\tau }x(1-x)=\frac{E^2}{R}x(1-x),$$

puisque $L{I}^2/\tau =R{I}^2=E^2/R$. La fonction $x\mapsto x(1-x)$ est maximale en $x=\frac{1}{2}$, où elle vaut $\frac{1}{4}$. Donc

$$t_{\max }=\tau \ln 2=34,7\mathrm{ms},P_{L,\max }=\frac{E^2}{4R}=\frac{144}{24}=6,0\mathrm{W}.$$

À $t=0$, le courant est nul, donc la puissance $Li\dot{i}$ aussi, bien que $\dot{i}$ y soit maximale ; à $t\to \infty$, le courant ne varie plus, donc l'énergie stockée non plus. Entre les deux, la bobine absorbe de l'énergie, au plus vite quand le courant a atteint la moitié de sa valeur finale. (On reconnaît le résultat du transfert maximal de puissance : la bobine reçoit le plus quand la tension se partage à parts égales entre elle et la résistance, $u_L=Ri=E/2$.)

4) Les énergies sur $[0,5\tau ]$. Avec ${\int }_0^{5\tau }(1-e^{-t/\tau })\mathrm{d}t=5\tau -\tau (1-e^{-5})=4,007\tau$ :

$$W_{\mathrm{source}}=EI\times 4,007\tau =24\times 4,007\times 0,050=4,81\mathrm{J},$$

$${\mathcal{E}}_L(5\tau )=\frac{1}{2}L{I}^2(1-e^{-5}{)}^2=0,60\times 0,987=0,59\mathrm{J},W_J=W_{\mathrm{source}}-{\mathcal{E}}_L=4,22\mathrm{J}.$$

La bobine a déjà reçu $99\%$ de son énergie finale $\frac{1}{2}L{I}^2=0,60\mathrm{J}$, mais la résistance a dissipé sept fois plus.

5) Pas de « rendement ». En régime permanent, la résistance dissipe $R{I}^2=24\mathrm{W}$ en permanence, et l'énergie de la bobine reste fixée à $0,60\mathrm{J}$. Au bout d'une seconde, le générateur a fourni $\approx 24\mathrm{J}$ pour en stocker $0,6$ ; au bout d'une minute, $1,4\mathrm{kJ}$. Le rapport tend vers zéro, et il n'a aucun sens : on ne branche pas un électroaimant pour stocker de l'énergie, mais pour maintenir un courant, donc un champ magnétique, qui coûte $R{I}^2$ tant qu'il dure. La différence avec le condensateur est structurelle : en régime permanent, le condensateur ne laisse passer aucun courant et ne coûte plus rien ; la bobine laisse passer tout le courant, et la résistance associée le fait payer. (C'est pourquoi les électroaimants des appareils d'IRM sont supraconducteurs : avec $R=0$, maintenir le champ ne coûte plus rien.)

6) Homogénéité. $[L/R]=\frac{\mathrm{V}\mathrm{s}{\mathrm{A}}^{-1}}{\mathrm{V}{\mathrm{A}}^{-1}}=\mathrm{s}$ : $\tau$ est bien un temps. $[E^2/R]=\frac{{\mathrm{V}}^2}{\mathrm{V}{\mathrm{A}}^{-1}}=\mathrm{V}\mathrm{A}=\mathrm{W}$ : $P_{L,\max }$ est bien une puissance.

Ce que l'exercice installe. Le bilan de puissance instantané $Ei=R{i}^2+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}L{i}^2\right)$, obtenu en multipliant la loi des mailles par $i$ — la méthode servira pour le circuit RLC, puis pour le couplage électromécanique en fin d'année. Et l'idée qu'un « rendement » n'a de sens que si l'on sait ce qu'on veut obtenir : stocker une énergie ou entretenir un état.