La minuterie d'escalier

Une minuterie éteint la lumière quand la tension d'un condensateur, en décharge dans une résistance, passe sous un seuil. On veut une durée d'éclairage d'environ $3\min$ avec $C=100\mu \mathrm{F}$.

• La décharge suit $u(t)=u_0{\mathrm{e}}^{-t/\tau }$. Si le seuil d'extinction est à $u_0/\mathrm{e}$ (soit après une constante de temps), quelle valeur de $\tau$ faut-il ?
• En déduire la résistance $R$.
• Comment régler une durée plus longue sans changer $C$ ?