Mesurer une constante de temps sur un relevé

La stratégie. Une mesure de $\tau$ ne vaut que par sa robustesse : une lecture en un seul point est sensible à l'erreur sur ce point et ne dit rien de la forme de la courbe. La linéarisation, elle, teste le modèle (la courbe est-elle une exponentielle ?) en même temps qu'elle mesure le paramètre.

1) Trois lectures. En décharge, $u(t)=u_0{e}^{-t/\tau }$.

• La tangente à l'origine. Sa pente est $-u_0/\tau$ ; elle coupe l'asymptote $u=0$ en $t=\tau$. Méthode rapide, mais tracer une tangente à la main est imprécis.
• Le point à $37\%$. $u(\tau )=u_0{e}^{-1}=0,368u_0$. Ici $0,368\times 5,00=1,84\mathrm{V}$ ; par interpolation entre $(100\mu \mathrm{s};1,93\mathrm{V})$ et $(150\mu \mathrm{s};1,20\mathrm{V})$, on obtient $\tau \approx 105\mu \mathrm{s}$. Méthode précise sur un point, mais elle repose entièrement sur ce point et sur la valeur de $u_0$.
• La linéarisation. Objet de la question suivante.

2) La droite. En prenant le logarithme : $\ln u=\ln u_0-\frac{t}{\tau }$, fonction affine de $t$ de pente $-1/\tau$. Les valeurs de $\ln u$ sont :

Les sept points sont alignés (chaque pas de $25\mu \mathrm{s}$ fait baisser $\ln u$ d'environ $0,238$), ce qui confirme que la décharge est exponentielle. La régression linéaire donne une pente de $-9,54\times 10^{-3}\mu {\mathrm{s}}^{-1}$, soit $$\tau =105\mu \mathrm{s},$$ et une ordonnée à l'origine qui redonne $u_0=5,01\mathrm{V}$. Cette méthode utilise tous les points, et un point aberrant se voit immédiatement hors de la droite. Elle ne suppose pas connue la valeur finale (ici nulle) : en charge, on linéarise $\ln (u_{\infty }-u)$, ce qui exige de connaître $u_{\infty }$ — on le lit sur le palier.

3) La résistance cachée. Pendant la décharge, le GBF impose $0\mathrm{V}$ à travers sa résistance de sortie : le condensateur se décharge dans $R+R_s$, et $$\tau =(R+R_s)C=(1000+50)\times 100\times 10^{-9}=105\mu \mathrm{s}.$$ L'écart de $5\%$ n'est pas une erreur de mesure : c'est la mesure d'une résistance qu'on avait oubliée. Le désaccord entre théorie et expérience est une information.

4) Rendre $R_s$ négligeable. L'écart relatif est $R_s/R$. Pour qu'il soit inférieur à $1\%$, il faut $R>100R_s=5\mathrm{k\Omega }$ (à $1\%$ près en valeur relative de $R_s/(R+R_s)$, on trouve $R>4,95\mathrm{k\Omega }$). On garde le même $\tau$ en prenant par exemple $R=10\mathrm{k\Omega }$ et $C=10\mathrm{nF}$. Mais il ne faut pas monter trop haut : vers $100\mathrm{k\Omega }$, c'est la résistance d'entrée de l'oscilloscope qui intervient, comme à l'exercice 2. La bonne valeur de $R$ est entre les deux résistances parasites.

5) Perdre $90\%$. Il reste $10\%$ de la tension (la charge $q=Cu$ lui est proportionnelle) quand $e^{-t/\tau }=0,10$, soit $$t_{90}=\tau \ln 10=105\times 2,303=242\mu \mathrm{s}.$$ Le relevé est cohérent : $u(200\mu \mathrm{s})=0,74\mathrm{V}$, soit $15\%$ de $u_0$ ; il faut un peu plus de $200\mu \mathrm{s}$ pour descendre à $0,50\mathrm{V}$.

Ce que l'exercice installe. Le passage au logarithme transforme une exponentielle en droite, et une droite se vérifie d'un coup d'œil : c'est la méthode de mesure d'une constante de temps, qu'on retrouvera pour les décroissances radioactives, les cinétiques chimiques d'ordre 1 et le décrément logarithmique du chapitre suivant. Et une constante de temps mesurée renseigne sur toutes les résistances du circuit, y compris celles des appareils.