Accorder et sélectionner une station

La stratégie. Deux exigences s'opposent : rejeter les voisines (sélectivité, grand $Q$) et garder tout le son de la station (fidélité, bande passante assez large). On les chiffre séparément, avec la vraie courbe de résonance et pas avec le seul critère de la bande passante.

1) L'accord. $f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ donne $C=\frac{1}{4{\pi }^2{f}_0^{2}L}$ : $449\mathrm{pF}$ à $531\mathrm{kHz}$ et $49\mathrm{pF}$ à $1602\mathrm{kHz}$. Comme $C\propto 1/f_0^2$, le rapport des capacités, $9,1$, est le carré du rapport des fréquences, $3,02$. C'est l'ordre de grandeur des condensateurs variables à lames des postes anciens.

2) Le critère trompeur. Avec $x=1,05$, $x-\frac{1}{x}=0,0976$, et $Q(x-\frac{1}{x})=1,95$, d'où $$A=\frac{1}{\sqrt{1+1,95^2}}=0,46.$$ La station indésirable passe avec près de la moitié de son amplitude. La bande passante, définie à $1/\sqrt{2}$, mesure une largeur, pas une réjection : un écart égal à la bande passante n'atténue que d'un facteur deux. Il faudrait $Q\approx 100$ pour ramener la station à $1050\mathrm{kHz}$ au dixième.

3) La sélectivité, chiffrée. Posons $x=1+\epsilon$ avec $\epsilon =\delta f/f_0\ll 1$. Alors $\frac{1}{x}\simeq 1-\epsilon$ et $x-\frac{1}{x}\simeq 2\epsilon =\frac{2\delta f}{f_0}$. Ramener la voisine au dixième, c'est imposer $1+Q^2(2\epsilon {)}^2=100$, soit $$Q=\frac{\sqrt{99}}{2\epsilon }=\frac{9,95\times 1000}{18}\approx 5,5\times 10^2.$$ Le calcul exact donne $555$. La bande passante est alors $f_0/Q=1,8\mathrm{kHz}$. Les composantes du son à $\pm 4,5\mathrm{kHz}$, pour lesquelles $2\epsilon =0,009$, sont transmises avec $A=1/\sqrt{1+(555\times 0,009{)}^2}=0,20$ : les aigus sont écrasés d'un facteur cinq. Le son est étouffé.

4) La fidélité, chiffrée. Garder $\pm 4,5\mathrm{kHz}$ à au moins $1/\sqrt{2}$, c'est imposer $Q\times \frac{2\times 4,5}{1000}\le 1$, soit $Q\le 111$ (bande passante de $9\mathrm{kHz}$, exactement l'espacement des canaux). La voisine à $9\mathrm{kHz}$ passe alors avec $A=1/\sqrt{1+(111\times 0,018{)}^2}=0,45$.

5) La conclusion. Il faudrait $Q\ge 555$ pour la sélectivité et $Q\le 111$ pour la fidélité : un seul circuit résonant ne peut pas tout faire. Sa courbe de résonance est trop arrondie : elle ne descend pas assez vite au bord du canal. Les récepteurs réels contournent l'obstacle par le principe superhétérodyne, cité ici sans être étudié : on transpose toute station reçue vers une fréquence intermédiaire fixe, où une chaîne de plusieurs filtres, à flancs beaucoup plus raides qu'une seule résonance, fait le tri.

Ce que l'exercice installe. Relier l'acuité de la résonance au facteur de qualité, et ne pas confondre bande passante et réjection : on calcule l'amplitude transmise avec la courbe complète. L'approximation $x-\frac{1}{x}\simeq 2\delta f/f_0$ près de la résonance est un outil qui resservira. Et l'ingénieur retient qu'un compromis chiffré vaut mieux qu'un critère qualitatif.