La méthode des trois voltmètres

La stratégie. Trois amplitudes ne contiennent aucune phase. Mais la loi des mailles en complexe, $\underline{E}={\underline{U}}_R+{\underline{U}}_B$, dit que les trois vecteurs forment un triangle ; ses trois côtés étant connus, ses angles le sont aussi, par le théorème d'Al-Kashi. La phase se reconstruit par la géométrie.

1) Le diagramme. Le courant est commun aux deux dipôles en série : on le prend pour origine des phases, $\underline{I}=I$ réel positif. La résistance donne ${\underline{U}}_R=RI$, vecteur horizontal, dans la direction du courant. La bobine donne ${\underline{U}}_B=(r+jL\omega )I$ : ce vecteur a une composante $rI$ le long du courant et une composante $L\omega I$ perpendiculaire, vers le haut. Il fait avec $\underline{I}$ l'angle $\theta$ tel que $$\tan \theta =\frac{L\omega }{r},0<\theta <\frac{\pi }{2}.$$ Le vecteur $\underline{E}$ est la somme : on place ${\underline{U}}_R$ depuis l'origine, puis ${\underline{U}}_B$ à partir de son extrémité, et $\underline{E}$ ferme le triangle.

2) Al-Kashi. On développe le carré du module d'une somme : $$E^2=|{\underline{U}}_R+{\underline{U}}_B{|}^2=U_R^2+U_B^2+2U_R{U}_B\cos \theta ,$$ puisque $\theta$ est l'angle entre les deux vecteurs. D'où la formule annoncée. Ensuite, $I=U_R/R$ ; le module de l'impédance de la bobine est $Z_B=U_B/I=R{U}_B/U_R$, et ses parties réelle et imaginaire donnent $$r=Z_B\cos \theta ,L=\frac{Z_B\sin \theta }{\omega }.$$

3) À 500 Hz. $I=3,00/100,0=30,0\mathrm{mA}$ et $Z_B=9,43/0,0300=314,3\Omega$. Puis $$\cos \theta =\frac{100-9,00-88,92}{2\times 3,00\times 9,43}=\frac{2,08}{56,6}=0,0367,\theta =87,9^{\circ }.$$ D'où $r=314,3\times 0,0367=11,5\Omega$ et $L=\frac{314,3\times 0,9993}{2\pi \times 500}=0,1000\mathrm{H}$.

4) La sensibilité, et le piège. Avec $U_B=9,42\mathrm{V}$, on trouve $\cos \theta =0,0400$ et $r=12,6\Omega$ ; avec $U_B=9,44\mathrm{V}$, $\cos \theta =0,0333$ et $r=10,5\Omega$. Un centième de volt sur une lecture de neuf volts — un millième en valeur relative — déplace $r$ de $\pm 9\%$. Dans le même temps, $L$ passe de $0,0999\mathrm{H}$ à $0,1001\mathrm{H}$ : un millième.

La raison est dans le numérateur : $E^2-U_R^2-U_B^2=2,08{\mathrm{V}}^2$ est la différence de nombres voisins de cent. Une erreur $\delta U_B=0,01\mathrm{V}$ change $U_B^2$ de $2U_B\delta U_B=0,19{\mathrm{V}}^2$, soit $9\%$ du numérateur. Au contraire, $\sin \theta \simeq 1$ ne bouge presque pas quand $\theta$ varie autour de $88^{\circ }$ : $L$ est robuste.

5) À 50 Hz. $I=86,0\mathrm{mA}$, $Z_B=33,6\Omega$, et $$\cos \theta =\frac{100-73,96-8,35}{2\times 8,60\times 2,89}=\frac{17,69}{49,71}=0,356,\theta =69,2^{\circ },$$ d'où $r=12,0\Omega$ et $L=0,100\mathrm{H}$. Avec $U_B=2,88$ puis $2,90\mathrm{V}$, $r$ vaut $12,00$ puis $11,92\Omega$ : $\pm 0,3\%$ seulement. En revanche $L$ varie alors de $\pm 0,4\%$, plus qu'à $500\mathrm{Hz}$.

Le triangle explique tout. À $500\mathrm{Hz}$, $L\omega =314\Omega$ écrase $r=12\Omega$ : ${\underline{U}}_B$ est presque perpendiculaire au courant, le triangle est aplati, et l'information sur $r$ tient dans un tout petit écart à l'angle droit, noyé dans l'incertitude. À $50\mathrm{Hz}$, $L\omega =31\Omega$ est du même ordre que $r$ : le triangle est bien ouvert, $\cos \theta$ est franchement non nul, la mesure de $r$ est bien conditionnée. On choisit la fréquence selon ce qu'on mesure : basse (avec $L\omega$ comparable à $r$) pour la résistance, plus haute (avec $L\omega \gg r$) pour l'inductance. Les valeurs du modèle qui a servi à fabriquer ces données sont $r=12\Omega$ et $L=0,100\mathrm{H}$ ; la mesure à $50\mathrm{Hz}$ les retrouve, celle à $500\mathrm{Hz}$ se trompe de $4\%$ sur $r$ avec des données arrondies au centième.

6) L'étalon et la méthode simple. L'étalon doit avoir une impédance connue, réelle et indépendante de la fréquence : sa tension est en phase avec le courant, elle fournit à la fois l'amplitude $I=U_R/R$ et la direction de référence du triangle. Une résistance de précision remplit ces trois conditions mieux que tout autre composant. Pour $r$ seule, il y a bien plus simple : en continu, l'impédance de la bobine se réduit à $r$ (la bobine idéale est un fil), et un ohmmètre la donne directement. Inversement, si l'on sait que $r$ est négligeable, la seule mesure de $|{\underline{Z}}_B|=U_B/I$ suffit à donner $L=|{\underline{Z}}_B|/\omega$ : une bobine qui présente $625\Omega$ à $1\mathrm{kHz}$ a une inductance de $99\mathrm{mH}$.

Ce que l'exercice installe. Le diagramme de Fresnel n'est pas une illustration : c'est un outil de mesure, qui reconstruit une phase à partir d'amplitudes. Et la leçon d'expérimentateur dépasse l'électricité : une grandeur obtenue comme petite différence de grandes quantités est mal mesurée ; on règle les conditions de l'expérience pour que la grandeur cherchée pèse vraiment dans ce que l'on lit.