Problème : résonance du RLC série, bande passante $\Delta \omega ={\omega }_0/Q$ et surtension

La stratégie. Tout passe par l'impédance du circuit, mise sous forme réduite : on fait apparaître $x$ et $Q$, seuls paramètres qui comptent. La résonance d'intensité se lit sur un dénominateur ; celle de tension demande l'étude d'un trinôme.

1) Le courant. Les trois dipôles sont en série : $\underline{Z}=R+j\left(L\omega -\frac{1}{C\omega }\right)$ et $\underline{I}=E/\underline{Z}$. On factorise $R$ : $$\underline{Z}=R\left[1+j\left(\frac{L\omega }{R}-\frac{1}{RC\omega }\right)\right].$$ Or $\frac{L\omega }{R}=\frac{L{\omega }_0}{R}x=Qx$, et $\frac{1}{RC\omega }=\frac{1}{RC{\omega }_0}\cdot \frac{1}{x}=\frac{Q}{x}$, car $\frac{L{\omega }_0}{R}=\frac{1}{RC{\omega }_0}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=Q$. D'où $$\underline{I}=\frac{E/R}{1+jQ\left(x-\frac{1}{x}\right)},I=\frac{E/R}{\sqrt{1+Q^2{\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2}}.$$ Le dénominateur est minimal, égal à $1$, si et seulement si $x-\frac{1}{x}=0$, c'est-à-dire $x=1$ (pour $x>0$). L'amplitude maximale $I_{\max }=E/R$ est atteinte en $\omega ={\omega }_0$, quel que soit $Q$ : la position de la résonance d'intensité ne dépend pas de la résistance. En $x=1$, $\underline{I}=E/R$ est réel : $i$ est en phase avec $e$, et le circuit se comporte comme la seule résistance.

Le déphasage de $i$ sur $e$ vaut $-\arctan (Q(x-\frac{1}{x}))$. Pour $x<1$, $x-\frac{1}{x}<0$ : le courant est en avance, le circuit est capacitif (le condensateur, d'impédance plus grande, impose sa loi). Pour $x>1$, il est en retard, le circuit est inductif.

2) La bande passante, exactement. $I=I_{\max }/\sqrt{2}$ équivaut à $1+Q^2(x-\frac{1}{x}{)}^2=2$, soit $Q(x-\frac{1}{x})=\pm 1$. Notons $ϵ=\pm 1$ ; en multipliant par $x>0$, on obtient le trinôme $Q{x}^2-ϵx-Q=0$, dont le discriminant $1+4Q^2$ est positif. Ses racines ont pour produit $-1$ : une seule est positive, $$x_{ϵ}=\frac{ϵ}{2Q}+\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}.$$ Ainsi $x_1=-\frac{1}{2Q}+\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}$ et $x_2=\frac{1}{2Q}+\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}$. Par différence et par produit — une identité remarquable, $(b-a)(b+a)=b^2-a^2$ —, $$x_2-x_1=\frac{1}{Q},x_1{x}_2=\left(1+\frac{1}{4Q^2}\right)-\frac{1}{4Q^2}=1.$$ En multipliant par ${\omega }_0$ : $\Delta \omega ={\omega }_2-{\omega }_1=\frac{{\omega }_0}{Q}$ sans aucune approximation, et ${\omega }_1{\omega }_2={\omega }_0^2$. La pulsation propre est la moyenne géométrique des coupures — c'est ce qu'on a vérifié sur le relevé de l'exercice 5. Exemple : pour $Q=3,16$, $x_1=0,854$ et $x_2=1,171$.

Aux coupures, $Q(x-\frac{1}{x})=\mp 1$, donc le déphasage vaut $-\arctan (\mp 1)=\pm 45^{\circ }$ : $+45^{\circ }$ en ${\omega }_1$ (courant en avance), $-45^{\circ }$ en ${\omega }_2$. On dispose donc de deux lectures graphiques de $Q$ : la largeur de la courbe d'amplitude à $1/\sqrt{2}$, et l'écart entre les points où la phase vaut $\pm 45^{\circ }$ ; pour un circuit alimenté par une source idéale, elles coïncident.

3) La tension du condensateur. ${\underline{U}}_C={\underline{Z}}_C\underline{I}=\frac{\underline{I}}{jC\omega }$. Comme $RC\omega =RC{\omega }_{0}x=x/Q$, $${\underline{U}}_C=\frac{E}{jRC\omega \left(1+jQ\left(x-\frac{1}{x}\right)\right)}=\frac{E}{j\frac{x}{Q}-\left(x^2-1\right)}=\frac{E}{(1-x^2)+j\frac{x}{Q}},$$ car $j\frac{x}{Q}\cdot jQ\left(x-\frac{1}{x}\right)=-(x^2-1)$. Le module donne la formule demandée.

4) Existence et position du maximum. $U_C$ est maximal quand $D(x)=(1-x^2{)}^2+x^2/Q^2$ est minimal. On pose $X=x^2>0$ : $D=(1-X{)}^2+X/Q^2$ est un trinôme du second degré en $X$, de coefficient dominant positif, minimal en son sommet $$X_r=1-\frac{1}{2Q^2}$$ (dérivée $-2(1-X)+1/Q^2$ nulle). Deux cas. Si $X_r>0$, c'est-à-dire $Q>1/\sqrt{2}$, le minimum de $D$ sur $X>0$ est atteint en $X_r$, et $U_C$ passe par un maximum en $x_r=\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}$, strictement inférieur à $1$. Si $X_r\le 0$, c'est-à-dire $Q\le 1/\sqrt{2}$, $D$ est croissant sur $X>0$ : $U_C$ décroît depuis sa valeur en continu, il n'y a pas de résonance en tension. La valeur du minimum : $$D(X_r)=\frac{1}{4Q^4}+\frac{1}{Q^2}-\frac{1}{2Q^4}=\frac{1}{Q^2}\left(1-\frac{1}{4Q^2}\right),\frac{U_{C,\max }}{E}=\frac{Q}{\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}.$$ Contrôles numériques : pour $Q=1$, $x_r=0,707$ et $U_{C,\max }/E=2/\sqrt{3}=1,15$ ; pour $Q=3$, $x_r=0,972$ et $3,04$. Contrairement à la résonance d'intensité, la résonance en tension dépend de $Q$ par sa position, et peut ne pas exister.

5) La surtension. En ${\omega }_0$, $x=1$ et $U_C/E=Q$ : $U_C=20\times 10=200\mathrm{V}$. Au maximum, $U_{C,\max }=200,06\mathrm{V}$, en $x_r=0,99937$ : pour $Q=20$, ${\omega }_r$ et ${\omega }_0$ diffèrent de $0,06\%$, et l'on confond en pratique les deux résonances. Le condensateur reçoit vingt fois la tension de la source : c'est une surtension, et un vrai danger si le composant n'est pas prévu pour la tenir (un condensateur de $63\mathrm{V}$ claquerait).

Comment est-ce possible ? En ${\omega }_0$, ${\underline{U}}_L=jL{\omega }_0\underline{I}$ et ${\underline{U}}_C=-\frac{j}{C{\omega }_0}\underline{I}$ sont deux vecteurs de Fresnel opposés et de même longueur $L{\omega }_0\frac{E}{R}=QE$. Leur somme est nulle : la loi des mailles se réduit à $\underline{E}={\underline{U}}_R$, et la source ne « voit » que $R$. Les deux tensions de $200\mathrm{V}$ existent bien, mais elles se compensent à chaque instant. Du point de vue énergétique, à la résonance, $i=I\cos ({\omega }_{0}t)$ et $u_C=\frac{I}{C{\omega }_0}\sin ({\omega }_{0}t)$, donc $$\frac{1}{2}C{u}_C^2+\frac{1}{2}L{i}^2=\frac{1}{2}L{I}^2\left({\sin }^2({\omega }_{0}t)+{\cos }^2({\omega }_{0}t)\right)=\frac{1}{2}L{I}^2,$$ en utilisant $\frac{1}{C{\omega }_0^2}=L$ : l'énergie stockée est constante, elle passe sans cesse de la bobine au condensateur. La source ne fournit que ce que la résistance dissipe. Les $200\mathrm{V}$ ont été accumulés pendant le régime transitoire, qui dure de l'ordre de $\tau =2Q/{\omega }_0$, soit $Q/\pi \approx 6$ périodes ici : la source a rempli le réservoir peu à peu, comme on pousse une balançoire.

6) Cas limites, analogie, résultat. Sans calcul : en continu, le condensateur est une coupure, aucun courant ne circule, $R$ et $L$ n'ont aucune tension à leurs bornes, et le condensateur reçoit toute la tension de la source, $U_C/E\to 1$. En très haute fréquence, la bobine est une coupure et le condensateur un fil : $U_C/E\to 0$. La formule le confirme : $D(0)=1$, et $U_C/E\simeq 1/x^2\to 0$ quand $x\to \infty$.

L'analogie électromécanique associe la charge $q=C{u}_C$ à l'élongation, l'inductance à la masse, la résistance au coefficient de frottement fluide, l'inverse de la capacité à la raideur du ressort, la force électromotrice à la force excitatrice. Le courant, dérivée de la charge, est l'analogue de la vitesse. Les deux résonances se traduisent mot pour mot : la résonance en vitesse a toujours lieu à la pulsation propre, avec une bande passante ${\omega }_0/Q$ ; la résonance en élongation n'existe que si $Q>1/\sqrt{2}$, a lieu un peu en dessous de la pulsation propre, et l'amplitude y vaut environ $Q$ fois le déplacement statique $F/k$ (l'analogue de $U_C\to E$ en continu). C'est le thème « oscillateur amorti en régime forcé » du livre de Mécanique.

Le résultat établi. Résonance du circuit RLC série : la résonance d'intensité a lieu à la pulsation propre ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ quel que soit le facteur de qualité, le courant y est en phase avec la source, et sa bande passante vaut exactement $\Delta \omega ={\omega }_0/Q$, avec ${\omega }_1{\omega }_2={\omega }_0^2$ ; la résonance en tension aux bornes du condensateur n'existe que si $Q>1/\sqrt{2}$, a lieu en ${\omega }_r={\omega }_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}<{\omega }_0$, et vaut $QE/\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}\simeq QE$ : c'est la surtension.