électricité (PTSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Trois facteurs de qualité pour un même circuit

Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance · C. Résonance du circuit RLC série · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On étudie un circuit RLC série : un générateur basse fréquence (GBF), une résistance de valeur nominale $R = 100 Ω$ , une bobine de valeur nominale $L = 0, 10 H$ et un condensateur de valeur nominale $C = 1, 0 μ F$ , en série dans une seule maille. La force électromotrice du GBF a une amplitude de $5, 0 V$ . La voie 1 de l'oscilloscope mesure la tension $u_{g}$ entre les bornes de sortie du GBF ; la voie 2 mesure la tension $u_{R}$ aux bornes de la résistance (les deux masses sont communes). On relève l'amplitude $U_{R m}$ et le déphasage $φ$ de $u_{R}$ par rapport à $u_{g}$ :

$f$ (Hz)	250	350	390	420	460	500	540	600	650	750	1000
$U_{R m}$ (V)	0,99	1,74	2,16	2,49	2,86	3,03	2,93	2,51	2,15	1,63	1,01
$φ$ (degrés)	77	64	55	45	26	2	−21	−44	−55	−66	−76

1) Pourquoi $u_{R}$ est-elle l'image du courant ? Déterminer la fréquence de résonance $f_{0}$ sur le relevé, de deux manières. La comparer à la valeur attendue avec les valeurs nominales.

2) Déterminer, par interpolation linéaire, les fréquences $f_{1}$ et $f_{2}$ où l'amplitude vaut $U_{R m, m a x} / 2$ . En déduire un facteur de qualité $Q$ . Vérifier que $f_{1} f_{2} ≃ f_{0}$ .

3) Déterminer les fréquences où le déphasage vaut $\pm 4 5^{\circ}$ . En déduire un second facteur de qualité $Q^{'}$ .

4) Calculer le facteur de qualité nominal $Q_{nom} = \frac{1}{R} \frac{L}{C}$ . Les trois valeurs diffèrent. On apprend que la bobine a une résistance interne $r = 15 Ω$ et que le GBF a une résistance de sortie $R_{g} = 50 Ω$ . Expliquer quantitativement les trois valeurs.

5) Quelle valeur de l'amplitude maximale $U_{R m, m a x}$ ce modèle prévoit-il ? Lequel des trois facteurs de qualité caractérise l'oscillateur réellement construit ?

Corrigé

La stratégie. Le cours dit : la position du pic donne $ω_{0}$ , sa largeur donne $Q$ . Sur un relevé réel, il faut savoir ce qu'on mesure exactement : quel courant, quelle référence de phase, quelles résistances sont dans la maille.

1) La résonance. La tension $u_{R} = R i$ est proportionnelle au courant, en phase avec lui : l'oscilloscope « voit » le courant à travers la résistance. La résonance d'intensité se lit de deux façons : au maximum d'amplitude, vers $500 Hz$ ( $3, 03 V$ ), et à l'annulation du déphasage, que l'interpolation entre $500 Hz$ ( $+ 2^{\circ}$ ) et $540 Hz$ ( $- 2 1^{\circ}$ ) place en $500 + 40 \times \frac{2}{23} = 503 Hz$ . La valeur nominale est $f_{0} = \frac{1}{2 π L C} = \frac{1}{2 π 0 , 10 \times 1 , 0 \times 1 0 ^{- 6}} = 503 Hz$ . Accord parfait : $f_{0}$ ne dépend pas des résistances.

2) Le facteur de qualité par l'amplitude. La valeur cible est $3, 03/ 2 = 2, 14 V$ . Côté basses fréquences, entre $350 Hz$ ( $1, 74 V$ ) et $390 Hz$ ( $2, 16 V$ ) : $f_{1} = 350 + 40 \times \frac{2 , 14 - 1 , 74}{2 , 16 - 1 , 74} = 388 Hz$ . Côté hautes fréquences, entre $650 Hz$ ( $2, 15 V$ ) et $750 Hz$ ( $1, 63 V$ ) : $f_{2} = 651 Hz$ . D'où $Δ f = f_{2} - f_{1} = 263 Hz, Q = \frac{f _{0}}{Δ f} = \frac{503}{263} = 1, 91.$ Et $388 \times 651 = 503 Hz$ : $f_{0}$ est la moyenne géométrique des fréquences de coupure, pas leur moyenne arithmétique ( $520 Hz$ ). La courbe de résonance n'est pas symétrique en fréquence ; elle l'est en échelle logarithmique.

3) Le facteur de qualité par la phase. Le déphasage vaut $+ 4 5^{\circ}$ à $420 Hz$ (lu directement), et $- 4 5^{\circ}$ entre $600 Hz$ ( $- 4 4^{\circ}$ ) et $650 Hz$ ( $- 5 5^{\circ}$ ), soit en $600 + 50 \times \frac{1}{11} = 605 Hz$ . D'où $Δ f^{'} = 185 Hz$ et $Q^{'} = \frac{503}{185} = 2, 7.$ Pour un RLC série alimenté par une source idéale, les deux lectures donneraient la même valeur, puisque l'amplitude est divisée par $2$ exactement là où le déphasage vaut $\pm 4 5^{\circ}$ (le problème le démontre). Ici, elles diffèrent de $40 %$ : le circuit n'est pas celui qu'on croit.

4) L'explication. Le facteur nominal vaut $Q_{nom} = \frac{1}{100} 0, 10/1 0^{- 6} = \frac{316}{100} = 3, 16$ . Or le courant traverse trois résistances : $R$ , la résistance $r$ de la bobine, et la résistance de sortie $R_{g}$ du GBF, puisque la force électromotrice est derrière $R_{g}$ . La largeur de la résonance d'intensité est fixée par la résistance totale de la maille : $Q = \frac{1}{R + r + R _{g}} \frac{L}{C} = \frac{316}{165} = 1, 92.$ C'est la valeur mesurée par l'amplitude. Le déphasage, lui, est mesuré par rapport à $u_{g}$ , la tension aux bornes de sortie du GBF, c'est-à-dire après $R_{g}$ . Or $U_{g} = (R + r + j (L ω - \frac{1}{C ω})) I$ : la phase de $u_{R}$ par rapport à $u_{g}$ ne voit que $R + r$ , et vaut $\pm 4 5^{\circ}$ quand la réactance égale $\mp (R + r)$ . D'où $Q^{'} = \frac{1}{R + r} \frac{L}{C} = \frac{316}{115} = 2, 75,$ en accord avec la lecture. Les trois facteurs de qualité correspondent à trois résistances : $100$ , $115$ et $165 Ω$ .

5) Le contrôle et la réponse. À la résonance, la réactance est nulle, et l'amplitude du courant est la force électromotrice divisée par la résistance totale : $U_{R m, m a x} = 5, 0 \times \frac{100}{165} = 3, 03 V$ , exactement ce qu'on lit. Le GBF ne délivre pas $5 V$ à ses bornes à la résonance : sa résistance interne en prélève une partie. L'oscillateur réellement construit, générateur compris, a pour facteur de qualité $1, 92$ : c'est lui qui règle la sélectivité et la durée des transitoires du montage. Le facteur $2, 75$ caractérise le dipôle « résistance, bobine, condensateur » seul ; le facteur $3, 16$ n'existe que sur le papier.

Ce que l'exercice installe. Lire $ω_{0}$ et $Q$ sur des relevés d'amplitude et de phase, en interpolant ; savoir que $ω_{0}$ est la moyenne géométrique des coupures ; et surtout se demander quelles résistances sont dans la maille : la résistance interne du générateur et celle de la bobine font partie du circuit, et la référence de phase choisie décide de ce que mesure la phase.

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