Du diagramme de Bode à la sortie : une somme de trois sinusoïdes

1) Identification. Le gain vaut $1$ ($0\mathrm{dB}$) en basse fréquence et décroît de $20\mathrm{dB}$ par décade au-delà de $1\mathrm{kHz}$ (de $-20$ à $-40\mathrm{dB}$ entre $10$ et $100\mathrm{kHz}$) : c'est un passe-bas, et la pente de $-20\mathrm{dB}$ par décade en fait un ordre 1. La fréquence de coupure est celle où $G_{\mathrm{dB}}=-3\mathrm{dB}$ et $\phi =-45^{\circ }$, deux lectures concordantes : $f_c=1,00\mathrm{kHz}$. La phase va de $0$ à $-90^{\circ }$, comme celle de

$$\underline{H}=\frac{1}{1+jf/f_c}.$$

Chaque valeur du tableau se retrouve : à $100\mathrm{Hz}$, $|\underline{H}|=1/\sqrt{1,01}$, soit $-0,04\mathrm{dB}$, et $\phi =-\arctan (0,1)=-5,7^{\circ }$.

Réalisation. Le passe-bas RC du cours : la résistance $R$ en série, puis le condensateur, la sortie prise aux bornes du condensateur. Avec $f_c=\frac{1}{2\pi RC}$ :

$$R=\frac{1}{2\pi f_{c}C}=\frac{1}{2\pi \times 10^3\times 10^{-7}}\approx 1,59\mathrm{k}\Omega .$$

Homogénéité : $RC$ est un temps ($\Omega \cdot \mathrm{F}=\mathrm{s}$), donc $1/(2\pi RC)$ est bien une fréquence.

2) Le diagramme asymptotique. En gain : une demi-droite horizontale à $0\mathrm{dB}$ jusqu'à $f_c$, puis une demi-droite de pente $-20\mathrm{dB}$ par décade issue du point $(f_c,0\mathrm{dB})$. En phase : $0$ en basse fréquence, $-90^{\circ }$ en haute fréquence, et la valeur $-45^{\circ }$ en $f_c$. L'écart de gain est maximal au coude, en $f_c$, où la courbe réelle passe à $-3\mathrm{dB}$ sous l'intersection des asymptotes ; il n'est plus que de $0,04\mathrm{dB}$ une décade plus loin, de part et d'autre.

3) La sortie. Le filtre est linéaire : la sortie d'une somme est la somme des sorties (principe de superposition), et chaque sinusoïde ressort à la même fréquence, multipliée par le gain et décalée du déphasage à cette fréquence. On traite donc les trois termes séparément.

• Le continu ($f=0$) : $\underline{H}(0)=1$, il passe intégralement : $2,0\mathrm{V}$.
• La raie à $100\mathrm{Hz}$ : gain $0,995$, phase $-5,7^{\circ }$ : amplitude $3,0\times 0,995=2,99\mathrm{V}$.
• La raie à $10\mathrm{kHz}$ : gain $1/\sqrt{101}=0,0995$, phase $-84,3^{\circ }$ : amplitude $0,0995\mathrm{V}$. $$s(t)\simeq 2,0+2,99\cos \left(2\pi \cdot 100t-5,7^{\circ }\right)+0,0995\cos \left(2\pi \cdot 10^{4}t-84,3^{\circ }\right).$$

4) Le parasite. En entrée, le parasite vaut un tiers de la composante à $100\mathrm{Hz}$ ; en sortie, $0,0995/2,99\approx 3,3\%$. Il a été réduit d'un facteur dix — c'est exactement le gain d'un ordre 1 une décade au-dessus de sa coupure. Mais le filtre a aussi déphasé la composante utile de $5,7^{\circ }$ (un retard de $0,16\mathrm{ms}$) : un filtre réel agit aussi sur les fréquences qu'on veut garder.

5) Le cahier des charges. Il faut que $\frac{1,0\times G(10\mathrm{kHz})}{3,0\times G(100\mathrm{Hz})}\le 0,01$. La résolution numérique de cette condition donne $f_c\approx 283\mathrm{Hz}$. Le prix est immédiat : la raie à $100\mathrm{Hz}$ n'est plus qu'à $94\%$ de son amplitude et elle est déphasée de $-19,5^{\circ }$. Un ordre 1 sépare mal deux fréquences distantes de deux décades seulement, parce que sa pente est douce ; un ordre 2, de pente $-40\mathrm{dB}$ par décade, ferait le même travail en laissant la composante utile presque intacte.

Ce que l'exercice installe. Un relevé de Bode suffit à identifier un filtre d'ordre 1 (pente, $-3\mathrm{dB}$ et $-45^{\circ }$ au même point). Et la sortie pour une entrée composite se calcule raie par raie : c'est la linéarité, et rien d'autre, qui l'autorise. On n'oublie jamais la phase.