Fabriquer une sinusoïde à partir d'un créneau (capacité numérique)

1) Ce que la linéarité permet et interdit. Le créneau est une somme de sinusoïdes ; un filtre linéaire transforme chacune en une sinusoïde de même fréquence, multipliée par $|\underline{H}|$ et déphasée de $\arg \underline{H}$, et la sortie est la somme de ces sorties. Il ne crée donc aucune raie, et il ne peut pas en supprimer une exactement (sauf si $\underline{H}$ s'annule pile à sa fréquence) : il ne fait que changer les proportions.

Le THD du créneau : ${\sum }_{n\ge 3\text{impair}}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{8}-1$, donc $\mathrm{THD}=\sqrt{\frac{{\pi }^2}{8}-1}\approx 48,3\%$. C'est le complément des 81 % de l'exercice 1 : $\frac{1}{1+0,483^2}=0,81$.

2) Le script. Il applique exactement la méthode du cours : spectre fourni, gain et phase raie par raie, somme.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

f0 = 1000.0                      # frequence du creneau (Hz)
n = np.arange(1, 2000, 2)        # harmoniques impaires, n <= 1999
A = 4 / (np.pi * n)              # spectre FOURNI du creneau

def passe_bande(f, fr, Q):
    return 1 / (1 + 1j * Q * (f / fr - fr / f))

def filtrer(fr, Q, H=passe_bande):
    Hn = H(n * f0, fr, Q)        # gain et phase, raie par raie
    B = A * np.abs(Hn)           # amplitudes de sortie
    k = (n == round(fr / f0))    # la raie que l'on garde
    thd = np.sqrt(np.sum(B[~k]**2)) / B[k][0]
    return thd, B[k][0], np.degrees(np.angle(Hn[k][0])), Hn

def tracer(fr, Q):
    t = np.linspace(0, 2 / f0, 2000)
    Hn = filtrer(fr, Q)[3]
    w = 2 * np.pi * n[:, None] * f0 * t
    e = np.sum(A[:, None] * np.sin(w), axis=0)
    s = np.sum((A * abs(Hn))[:, None]
               * np.sin(w + np.angle(Hn)[:, None]), axis=0)
    plt.plot(t * 1e3, e, t * 1e3, s); plt.xlabel("t (ms)")
    plt.show()

print("THD du creneau :", np.sqrt(np.sum(A[1:]**2)) / A[0])
for fr in (f0, 3 * f0):
    for Q in (1, 3, 10, 30):
        thd, a, phi, _ = filtrer(fr, Q)
        print(f"fr={fr:.0f} Hz Q={Q:>2} : THD={100*thd:6.2f} %"
              f"  amplitude={a:.3f}  phase={phi:+.1f} deg")
    Q = 1.0
    while filtrer(fr, Q)[0] > 0.01:
        Q += 0.1
    print(f"fr={fr:.0f} Hz : THD = 1 % pour Q = {Q:.1f}")
pb = lambda f, fr, Q: 1 / (1 + 1j * f / fr)   # passe-bas, fc = f0
thd, a, phi, _ = filtrer(f0, None, H=pb)
print(f"passe-bas ordre 1 : THD={100*thd:.1f} %"
      f"  amplitude={a:.3f}  phase={phi:+.0f} deg")
tracer(f0, 10)

Résultat obtenu en l'exécutant :

THD du creneau : 0.48316720724507284
fr=1000 Hz Q= 1 : THD= 12.69 %  amplitude=1.273  phase=+0.0 deg
fr=1000 Hz Q= 3 : THD=  4.46 %  amplitude=1.273  phase=+0.0 deg
fr=1000 Hz Q=10 : THD=  1.35 %  amplitude=1.273  phase=+0.0 deg
fr=1000 Hz Q=30 : THD=  0.45 %  amplitude=1.273  phase=+0.0 deg
fr=1000 Hz : THD = 1 % pour Q = 13.5
fr=3000 Hz Q= 1 : THD=115.99 %  amplitude=0.424  phase=+0.0 deg
fr=3000 Hz Q= 3 : THD= 42.34 %  amplitude=0.424  phase=+0.0 deg
fr=3000 Hz Q=10 : THD= 12.88 %  amplitude=0.424  phase=+0.0 deg
fr=3000 Hz Q=30 : THD=  4.30 %  amplitude=0.424  phase=+0.0 deg
fr=3000 Hz : THD = 1 % pour Q = 129.0
passe-bas ordre 1 : THD=16.4 %  amplitude=0.900  phase=-45 deg

(Spectre tronqué à $n=1999$, d'où $0,4832$ au lieu de $0,4834$.) Le tracé montre, pour $Q=10$, une sortie qu'on ne distingue pas à l'œil d'une sinusoïde, d'amplitude $1,27$, superposée au créneau.

3) Centré sur le fondamental. Le THD passe de $12,7\%$ à $0,45\%$ quand $Q$ passe de $1$ à $30$ : il est inversement proportionnel à $Q$, et 1 % est atteint pour $Q\approx 13,5$. L'explication. Pour la raie $n\ge 3$ et $Q$ grand, $\left|Q\left(n-\frac{1}{n}\right)\right|\gg 1$ et $|\underline{H}|\simeq \frac{n}{Q(n^2-1)}$. La raie de sortie vaut donc $\frac{4}{\pi n}\cdot \frac{n}{Q(n^2-1)}=\frac{4}{\pi Q(n^2-1)}$, et $$\mathrm{THD}\simeq \frac{1}{Q}\sqrt{\sum _{n\ge 3\text{impair}}\frac{1}{(n^2-1{)}^2}}\approx \frac{0,135}{Q},$$ ce qui donne bien $Q\approx 13,5$ pour 1 %.

4) Centré sur l'harmonique 3. Pour un même $Q$, le THD est environ dix fois plus grand ($116\%$ pour $Q=1$, $4,3\%$ pour $Q=30$), et il faut $Q\approx 129$ pour atteindre 1 %. Deux raisons s'ajoutent. La raie qu'on veut garder est trois fois plus faible que le fondamental ($\frac{4}{3\pi }=0,424$ contre $1,27$). Et le fondamental, qu'il faut maintenant éliminer, n'est qu'à un facteur trois en fréquence sous $f_r$ : $|\underline{H}(f_0)|=\frac{1}{\sqrt{1+Q^2(1/3-3{)}^2}}\simeq \frac{3}{8Q}$. Le résidu est dominé par le fondamental : pour $Q=30$, il ressort à $0,016$, deux fois plus que la raie 5 ($0,008$). Extraire une harmonique est bien plus difficile qu'extraire le fondamental.

5) Amplitude, phase, et choix du modèle. À $f=f_r$, $\underline{H}=1$ exactement : le passe-bande transmet la raie gardée sans l'atténuer ni la déphaser (amplitude $\frac{4}{\pi }=1,27$ pour le fondamental, $\frac{4}{3\pi }=0,42$ pour l'harmonique 3). Le passe-bas d'ordre 1 de coupure $f_0$, lui, donne un THD de $16,4\%$, moins bon que le passe-bande avec $Q=1$, et il atténue de $3\mathrm{dB}$ (amplitude $0,90$) et déphase de $-45^{\circ }$ la raie qu'on veut garder. Pour isoler une raie, le bon modèle est le passe-bande : il atténue des deux côtés et sa sélectivité se règle par $Q$. Le passe-bas ne sait qu'atténuer d'un côté, avec une pente douce.

Ce que l'exercice installe. La capacité numérique du programme : simuler l'action d'un filtre sur un signal périodique de spectre donné, raie par raie, et étudier l'influence d'un paramètre du filtre. Et deux lois à retenir : la distorsion résiduelle décroît comme $1/Q$ ; on ne crée pas une sinusoïde, on rend les autres raies négligeables.