Le même RC : moyenneur, intégrateur, dérivateur

1) $\tau =RC=10^4\times 10^{-7}=1,0\mathrm{ms}$ et $f_c=\frac{1}{2\pi \tau }\approx 159\mathrm{Hz}$.

2) Le diagramme de Bode asymptotique. La fonction de transfert. La sortie étant à vide, le diviseur de tension en complexes donne $$\underline{H}=\frac{\frac{1}{jC\omega }}{R+\frac{1}{jC\omega }}=\frac{1}{1+jRC\omega }=\frac{1}{1+jf/f_c},f_c=\frac{1}{2\pi \tau }\approx 159\mathrm{Hz}.$$ Les asymptotes. En basse fréquence ($f\ll f_c$), $\underline{H}\simeq 1$ : $G_{\mathrm{dB}}\simeq 0$ et $\phi \simeq 0$. En haute fréquence ($f\gg f_c$), $\underline{H}\simeq \frac{f_c}{jf}$ : $G_{\mathrm{dB}}\simeq -20\log \frac{f}{f_c}$, une droite de pente $-20\mathrm{dB}$ par décade qui coupe l'axe $0\mathrm{dB}$ exactement en $f_c$, et $\phi \simeq -90^{\circ }$.

Le tracé. Sur cinq décades, de $1\mathrm{Hz}$ à $100\mathrm{kHz}$ : en gain, une demi-droite horizontale à $0\mathrm{dB}$ jusqu'à $159\mathrm{Hz}$, puis la demi-droite de pente $-20\mathrm{dB}$ par décade, qui passe par $-20\mathrm{dB}$ à $1,59\mathrm{kHz}$, $-40\mathrm{dB}$ à $15,9\mathrm{kHz}$ et environ $-56\mathrm{dB}$ à $100\mathrm{kHz}$. En phase, deux demi-droites horizontales, $0$ en dessous de $f_c$ et $-90^{\circ }$ au-dessus ; la courbe réelle $\phi =-\arctan (f/f_c)$ passe par $-5,7^{\circ }$ à $f_c/10$, $-45^{\circ }$ en $f_c$ et $-84,3^{\circ }$ à $10f_c$. La courbe réelle du gain, $G_{\mathrm{dB}}=-10\log \left(1+f^2/f_c^2\right)$, reste sous les asymptotes : en $f_c$, elle vaut $-10\log 2\approx -3,0\mathrm{dB}$, l'écart maximal ; une décade de part et d'autre, l'écart n'est plus que de $10\log 1,01\approx 0,04\mathrm{dB}$. L'asymptotique est donc fidèle partout sauf sur la décade qui entoure le coude.

Lectures. À $10\mathrm{Hz}$, $f/f_c\approx 0,063$ : on est sur l'asymptote horizontale, $G\simeq 1$ ($0\mathrm{dB}$) et $\phi \approx -3,6^{\circ }$. À $10\mathrm{kHz}$, $f/f_c\approx 63$ : $G_{\mathrm{dB}}\approx -20\log 63\approx -36\mathrm{dB}$, soit $G\approx 0,016$, et $\phi \approx -90^{\circ }$ (exactement $-89,1^{\circ }$).

La sortie sur la résistance. ${\underline{H}}_R=1-\underline{H}=\frac{jf/f_c}{1+jf/f_c}$ : c'est le passe-haut du même circuit. Ses asymptotes sont la droite de pente $+20\mathrm{dB}$ par décade, avec $\phi =+90^{\circ }$, en basse fréquence, et $0\mathrm{dB}$, $\phi =0$, en haute fréquence ; même coude en $f_c$, même $-3\mathrm{dB}$ et une phase de $+45^{\circ }$ en $f_c$. À $10\mathrm{Hz}$, $G_R\approx 0,063$ ($-24\mathrm{dB}$) et ${\phi }_R\approx +86^{\circ }$.

3) L'intégrateur. L'équation. La loi des mailles et $i=C\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}$ donnent $$\tau \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}+u_C=e(t).$$ L'argument d'ordre de grandeur. La période $T=0,10\mathrm{ms}$ est dix fois plus courte que $\tau$. Pendant une demi-période, $u_C$ ne peut varier que d'environ $E\frac{T/2}{\tau }=0,25\mathrm{V}$, et par symétrie du créneau elle oscille autour de sa valeur moyenne, nulle. Donc $|u_C|\ll E=|e|$, et l'on peut négliger $u_C$ devant $e$ dans l'équation : $$\tau \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}\simeq e(t)⟹u_C(t)\simeq \frac{1}{\tau }\int e(t)\mathrm{d}t+\text{constante}.$$ La primitive d'un créneau est formée de segments de pentes alternées $\pm E/\tau$ : $u_C$ est un triangle, d'amplitude crête à crête $$\Delta u_C=\frac{E}{\tau }\cdot \frac{T}{2}=\frac{5,0\times 0,05\times 10^{-3}}{10^{-3}}=0,25\mathrm{V}.$$ Vérification. La résolution exacte (deux relaxations exponentielles par période, recollées par continuité de $u_C$) donne $2E\tanh \frac{T}{4\tau }=0,24995\mathrm{V}$, et une intégration numérique par la méthode d'Euler donne la même valeur : l'approximation est juste à $0,02\%$ près.

Par le spectre. Le fondamental du créneau a pour amplitude $\frac{4E}{\pi }=6,37\mathrm{V}$. À $10\mathrm{kHz}=63f_c$, le gain vaut $1/\sqrt{1+63^2}\approx 0,0159$ et la phase $-89,1^{\circ }$ : le fondamental ressort à $0,101\mathrm{V}$, en quadrature retard. Or un triangle de crête $0,125\mathrm{V}$ a pour fondamental $\frac{8}{{\pi }^2}\times 0,125=0,101\mathrm{V}$. Les deux lectures concordent. Le lien : loin au-dessus de $f_c$, $\underline{H}\simeq \frac{1}{j\omega \tau }$, et diviser par $j\omega$, c'est intégrer.

4) Le moyenneur. Par superposition, le créneau $0$–$5\mathrm{V}$ est la somme d'une constante $2,5\mathrm{V}$ et d'un créneau symétrique $\pm 2,5\mathrm{V}$. La constante traverse le passe-bas intégralement ($\underline{H}(0)=1$) ; le créneau symétrique est intégré comme au 3), avec une amplitude moitié. Donc $$u_C\simeq 2,50\mathrm{V}\pm 0,0625\mathrm{V}:$$ la sortie est la valeur moyenne de l'entrée, avec une petite ondulation triangulaire de $2,5\%$. C'est le même circuit dans le même régime ; on regarde seulement autre chose.

5) Le dérivateur. À $10\mathrm{Hz}$, la demi-période dure $50\mathrm{ms}=50\tau$. À chaque front, $e$ saute de $2E=10\mathrm{V}$. La tension aux bornes du condensateur est continue (sinon l'énergie $\frac{1}{2}C{u}_C^2$ sauterait, à puissance infinie), donc tout le saut se reporte sur la résistance : $u_R=e-u_C$ saute de $\pm 10\mathrm{V}$. Ensuite le condensateur se charge et $u_R$ décroît exponentiellement avec la constante de temps $\tau =1\mathrm{ms}$ : elle est pratiquement nulle bien avant le front suivant. On observe donc une suite de pics brefs, alternativement positifs et négatifs, de hauteur $10\mathrm{V}$ et de largeur $\approx 1\mathrm{ms}$, séparés de paliers nuls.

Dérivateur, en quel sens ? Lorsque $u_C\simeq e$ (le condensateur suit l'entrée), $u_R=RC\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}\simeq \tau \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}$. La dérivée d'un créneau est nulle sur les paliers et « infinie » sur les fronts : les pics en sont la version physiquement réalisable, d'aire $2E\tau$, la variation de $e$ multipliée par $\tau$. En fréquence : très en dessous de $f_c$, le passe-haut vaut $\underline{H}\simeq j\omega \tau$, et multiplier par $j\omega$ revient à dériver.

6) Le bilan.

• Moyenneur et intégrateur : sortie sur $C$, période courte devant $\tau$ (fréquence du signal très au-dessus de $f_c$). La valeur moyenne passe, la partie alternative est intégrée.
• Dérivateur : sortie sur $R$, période longue devant $\tau$ (fréquence très en dessous de $f_c$).

Le prix de l'intégration : elle n'est bonne que si $T\ll \tau$, donc que si la sortie est petite. Ici $0,25\mathrm{V}$ crête à crête pour $10\mathrm{V}$ crête à crête en entrée, et le fondamental est divisé par $63$. Plus l'intégration est fidèle, plus le signal est faible.

Ce que l'exercice installe. Les conditions d'utilisation d'un filtre se lisent sur le rapport entre la période du signal et la constante de temps, ou, ce qui revient au même, sur la position du spectre par rapport à la coupure. Et deux raisonnements se valident l'un l'autre : l'équation différentielle dans le temps, le gain et la phase raie par raie en fréquence. Le saut de $u_R$ s'obtient, lui, par la continuité de $u_C$. Enfin, le diagramme de Bode asymptotique d'un ordre 1 se trace à partir des seuls équivalents en basse et en haute fréquence ; il ne s'écarte de la courbe réelle que sur la décade qui entoure la coupure, de $3\mathrm{dB}$ au plus.