Problème : le filtre de Wien

1) La nature, sans calcul. Très basse fréquence : les condensateurs sont ouverts. Le condensateur du dipôle série interrompt le circuit : aucun courant, et le dipôle parallèle se réduit à $R$ sans courant : $u_s\to 0$. Très haute fréquence : les condensateurs sont des fils. Celui du dipôle parallèle court-circuite la sortie : $u_s\to 0$. La sortie s'annule aux deux extrémités : on attend un passe-bande.

2) La fonction de transfert. On note ${\underline{Z}}_s=R+\frac{1}{jC\omega }$ l'impédance du dipôle série et ${\underline{Y}}_p=\frac{1}{R}+jC\omega$ l'admittance du dipôle parallèle. Le diviseur de tension donne $$\underline{H}=\frac{1/{\underline{Y}}_p}{{\underline{Z}}_s+1/{\underline{Y}}_p}=\frac{1}{1+{\underline{Z}}_s{\underline{Y}}_p}.$$ Or, avec $x=RC\omega$ : $${\underline{Z}}_s{\underline{Y}}_p=\left(R+\frac{1}{jC\omega }\right)\left(\frac{1}{R}+jC\omega \right)=1+jRC\omega +\frac{1}{jRC\omega }+1=2+j\left(x-\frac{1}{x}\right).$$ D'où $$\underline{H}=\frac{1}{3+j\left(x-\frac{1}{x}\right)}=\frac{1/3}{1+\frac{j}{3}\left(x-\frac{1}{x}\right)}.$$ Identification : $H_0=\frac{1}{3}$, $\frac{\omega }{{\omega }_0}=x$ donc ${\omega }_0=\frac{1}{RC}=1,00\times 10^4\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $f_0=\frac{1}{2\pi RC}\approx 1,59\mathrm{kHz}$, et $Q=\frac{1}{3}$. On retrouve $\underline{H}\to 0$ aux deux extrémités.

3) Gain maximal et bande passante. Le module $|\underline{H}|=\frac{1}{\sqrt{9+(x-1/x{)}^2}}$ est maximal quand $x-\frac{1}{x}=0$, soit $x=1$ : $G_{\max }=\frac{1}{3}$, et $$G_{\mathrm{dB},\max }=20\log \frac{1}{3}\approx -9,54\mathrm{dB}.$$ Les coupures : $|\underline{H}|=\frac{G_{\max }}{\sqrt{2}}$ équivaut à $9+(x-\frac{1}{x}{)}^2=18$, soit $x-\frac{1}{x}=\pm 3$, c'est-à-dire $x^2\mp 3x-1=0$. Les racines positives sont $$x_1=\frac{\sqrt{13}-3}{2}\approx 0,303,x_2=\frac{\sqrt{13}+3}{2}\approx 3,303,$$ soit $f_1\approx 482\mathrm{Hz}$ et $f_2\approx 5,26\mathrm{kHz}$. La bande passante : $x_2-x_1=3$, donc $\Delta \omega =3{\omega }_0=\frac{{\omega }_0}{Q}$ — la relation générale du passe-bande d'ordre 2. La moyenne géométrique : $x_1{x}_2=\frac{13-9}{4}=1$, donc ${\omega }_1{\omega }_2={\omega }_0^2$. Sur une échelle logarithmique, ${\omega }_0$ est au milieu de la bande passante. Celle-ci couvre plus d'une décade : le filtre est très peu sélectif.

4) Le diagramme de Bode et son piège. Asymptotes. En basse fréquence, $x\ll 1$ : $\underline{H}\simeq \frac{1}{-j/x}=jx$, d'où $G_{\mathrm{dB}}\simeq 20\log x$, droite de pente $+20\mathrm{dB}$ par décade, et phase $+90^{\circ }$. En haute fréquence : $\underline{H}\simeq \frac{1}{jx}$, $G_{\mathrm{dB}}\simeq -20\log x$, pente $-20\mathrm{dB}$ par décade, phase $-90^{\circ }$. Les deux droites se coupent en $x=1$, à $0\mathrm{dB}$.

L'allure. Le gain réel monte avec la pente $+20$, culmine à $-9,54\mathrm{dB}$ en $x=1$, puis redescend symétriquement (le gain ne change pas quand on remplace $x$ par $1/x$) ; il vaut $-12,5\mathrm{dB}$ aux coupures. La phase $\phi =-\arctan \frac{x-1/x}{3}$ décroît continûment de $+90^{\circ }$ à $-90^{\circ }$, s'annule en $x=1$ et vaut $+45^{\circ }$ en $x_1$ et $-45^{\circ }$ en $x_2$.

Le piège. Les asymptotes se croisent à $0\mathrm{dB}$, soit $9,5\mathrm{dB}$ au-dessus du maximum réel. En général, pour la forme canonique, les asymptotes valent $\frac{H_0}{Q}x$ et $\frac{H_0}{Qx}$ et se croisent en $\frac{H_0}{Q}$ : l'écart avec le maximum $H_0$ est de $20\log \frac{1}{Q}$. Pour $Q\gg 1$, les asymptotes passent sous le pic ; pour $Q=\frac{1}{3}$, elles passent au-dessus, et le diagramme asymptotique suggère un gain unité que le filtre n'atteint jamais. Pour un filtre peu sélectif, la courbe réelle doit être tracée ; les asymptotes ne donnent que les pentes.

5) La phase nulle, instrument de mesure. $\phi =0$ équivaut à $\underline{H}$ réel, donc à $x-\frac{1}{x}=0$, donc à $x=1$ : $u_s$ est en phase avec $u_e$ à la seule pulsation ${\omega }_0=\frac{1}{RC}$, et elle vaut alors exactement $\frac{u_e}{3}$.

En mode XY, on envoie $u_e$ sur une voie et $u_s$ sur l'autre. En général, deux sinusoïdes de même fréquence déphasées décrivent une ellipse. En phase, l'ellipse dégénère en un segment de droite passant par l'origine, de pente $\frac{1}{3}$ (à sensibilités égales).

Protocole. Pour mesurer une fréquence inconnue $f$ : on réalise le filtre avec deux résistances réglables, maintenues égales (potentiomètre double), on ajuste $R$ jusqu'à obtenir un segment, et l'on calcule $f=\frac{1}{2\pi RC}$. Pour mesurer une capacité inconnue : même montage avec deux capacités inconnues égales, à une fréquence connue ; à l'extinction de l'ellipse, $C=\frac{1}{2\pi fR}$. C'est l'avantage d'un critère de phase : on repère un passage par zéro, très net, au lieu d'un maximum de gain, très plat ici puisque $Q=\frac{1}{3}$.

6) L'appareil de mesure charge le filtre. L'appareil d'impédance $R_u$ se place en parallèle sur le dipôle parallèle, dont l'admittance devient ${\underline{Y}}_p^{\prime }=\frac{1}{R}+\frac{1}{R_u}+jC\omega$. On pose $R_u=kR$. Le même calcul donne $${\underline{Z}}_s{\underline{Y}}_p^{\prime }=2+\frac{1}{k}+j\left(x-\frac{1}{x}-\frac{1}{kx}\right),\frac{1}{\underline{H}}=3+\frac{1}{k}+j\left(x-\frac{1+1/k}{x}\right).$$ La phase nulle a lieu quand $x^2=1+\frac{1}{k}$, soit $x=\sqrt{1+\frac{1}{k}}$, et le gain y vaut $\frac{1}{3+1/k}$.

• $R_u=1\mathrm{M}\Omega$, $k=100$ : phase nulle en $x=1,005$ (un décalage de $0,5\%$) ; gain $0,332$ au lieu de $0,333$ ; en ${\omega }_0$, la phase n'est que de $+0,19^{\circ }$. L'oscilloscope perturbe à peine la mesure.
• $R_u=10\mathrm{k}\Omega$, $k=1$ : phase nulle en $x=\sqrt{2}$, soit $\sqrt{2}{\omega }_0$, avec un gain de $\frac{1}{4}$. En ${\omega }_0$, $\frac{1}{\underline{H}}=4-j$ : gain $0,243$ et phase $+14^{\circ }$. La mesure de fréquence serait fausse de 41 %.

La condition : l'impédance d'entrée de l'appareil doit être grande devant les impédances du filtre, ici $R_u\gg R$ (erreur relative sur la fréquence $\sqrt{1+R/R_u}-1\approx \frac{R}{2R_u}$). C'est la règle générale de mise en cascade : un étage (ici l'appareil) n'en perturbe pas un autre si son impédance d'entrée est grande devant l'impédance de sortie de celui qui le précède ; les fonctions de transfert des étages ne se multiplient qu'à cette condition.

Le résultat. Le filtre de Wien — un dipôle $RC$ série suivi d'un dipôle $RC$ parallèle, sortie prise sur ce dernier — est un passe-bande d'ordre 2 de gain maximal $H_0=\frac{1}{3}$ ($-9,5\mathrm{dB}$), de facteur de qualité $Q=\frac{1}{3}$, donc de bande passante $\Delta \omega =3{\omega }_0$ ; il ne présente un déphasage nul qu'à la seule pulsation ${\omega }_0=\frac{1}{RC}$, ce qui en fait un instrument de mesure de fréquence ou de capacité, à condition de l'observer avec un appareil d'impédance d'entrée grande devant $R$.