Deux fils parallèles et l'ancien ampère

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'expression donnée du champ d'un fil (le programme demande d'« évaluer un champ à partir d'expressions fournies ») et la force de Laplace. La stratégie : identifier le champ subi, puis n'appliquer la force qu'avec lui.

1) Champ subi et force. Le fil 2 subit le champ du fil 1 ; son propre champ est exclu (un conducteur ne subit jamais le champ qu'il crée lui-même : les forces intérieures se compensent). Le fil 1 est sur l'axe $(Oz)$, le fil 2 passe par le point d'abscisse $x=d$ de $(Ox)$, les courants sont comptés selon ${\overrightarrow{u}}_z$. Au niveau du fil 2, le vecteur orthoradial du fil 1 est ${\overrightarrow{u}}_y$ :

$${\overrightarrow{B}}_1=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi d}{\overrightarrow{u}}_y,$$

uniforme le long du fil 2. Un tronçon de longueur $\ell$ subit donc $\overrightarrow{F}=I_2\ell {\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{B}}_1$, d'où

$${\overrightarrow{f}}_{1\to 2}=-\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}{\overrightarrow{u}}_x.$$

• $I_1{I}_2>0$ (même sens) : force vers le fil 1, les fils s'attirent ;
• $I_1{I}_2<0$ (sens contraires) : ils se repoussent.

Le point délicat. C'est l'inverse de l'électrostatique, où des charges de même signe se repoussent : le produit vectoriel fixe le sens, mieux vaut le refaire que se fier à une analogie.

2) Actions réciproques, homogénéité. Le calcul symétrique donne ${\overrightarrow{f}}_{2\to 1}=+\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}{\overrightarrow{u}}_x=-{\overrightarrow{f}}_{1\to 2}$ : forces opposées, de même droite d'action. Homogénéité : de $\mathrm{d}F=I\mathrm{d}\ell B$, un champ s'exprime en $\mathrm{N}{\mathrm{A}}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}$, donc ${\mu }_0$ en $\mathrm{N}{\mathrm{A}}^{-2}$, et ${\mu }_0{I}_1{I}_2/d$ en $\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$ : une force par unité de longueur.

3) L'ancien ampère. Pour $I_1=I_2=1\mathrm{A}$ et $d=1\mathrm{m}$, la force linéique vaut ${\mu }_0/(2\pi )$ en unités SI. Imposer $2\times 10^{-7}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$, c'est imposer

$${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{N}{\mathrm{A}}^{-2}\text{ exactement.}$$

Depuis 2019, c'est la charge élémentaire $e$ qui est fixée, et ${\mu }_0$ est mesurée — égale à $4\pi \times 10^{-7}\mathrm{N}{\mathrm{A}}^{-2}$ à mieux qu'un milliardième près.

La masse équivalente. $\frac{2\times 10^{-7}}{9,81}\approx 2\times 10^{-8}\mathrm{kg}$ : vingt microgrammes, un grain de poussière. La définition n'a jamais été réalisée telle quelle : les « balances de courant » utilisaient des bobines de nombreuses spires, qui multiplient la force.

Doublement. La force est proportionnelle à $I_1{I}_2$ : doubler les deux courants la quadruple.

4) Ordres de grandeur. (a) Démarreur : courants opposés, les câbles se repoussent avec

$$\begin{array}{rl}f& =\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi d}\\ & =\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 200^2}{2\pi \times 0,01}\\ & =0,8\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1},\end{array}$$

moins du cinquième du poids d'un câble ($\approx 5\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$) : rien ne bouge. Le champ d'un câble au niveau de l'autre vaut pourtant $4\times 10^{-3}\mathrm{T}$, deux cents fois le champ terrestre. (b) Court-circuit : la force croît comme le carré de l'intensité,

$$f=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times (2\times 10^4{)}^2}{2\pi \times 0,1}=800\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1},$$

le poids de quatre-vingts kilogrammes par mètre, appliqué brutalement. Les barres des tableaux électriques sont tenues par des supports dimensionnés pour ces efforts « électrodynamiques » ; sans eux, elles se tordent.

Ce que l'exercice installe. Le protocole d'une force de Laplace : identifier le champ subi, l'évaluer à partir de l'expression fournie, orienter par le produit vectoriel, vérifier par les actions réciproques et l'homogénéité. Et une loi d'échelle : entre deux conducteurs parcourus par le même courant, la force varie comme $I^2$ — anodine à quelques ampères, destructrice à quelques dizaines de kiloampères.