Établir le couple sur un cadre

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La force sur un segment en champ uniforme, $\overrightarrow{F}=NI\overrightarrow{\ell }\wedge \overrightarrow{B}$ ($N$ spires superposées, tout se passe comme pour un courant $NI$), le moment $\overrightarrow{OP}\wedge \overrightarrow{F}$, et la puissance ${\Gamma }_z\omega$ pour un solide en rotation autour d'un axe fixe. La stratégie : décrire le cadre par des vecteurs ; une base adaptée rend tout mécanique.

La géométrie. Le plan du cadre contient ${\overrightarrow{u}}_z$ et $\overrightarrow{w}=-\sin \theta {\overrightarrow{u}}_x+\cos \theta {\overrightarrow{u}}_y$ ; on vérifie que $\overrightarrow{w}\wedge {\overrightarrow{u}}_z=\overrightarrow{n}$, donc un courant qui tourne de $\overrightarrow{w}$ vers ${\overrightarrow{u}}_z$ a bien la normale $\overrightarrow{n}$. Les côtés sont :

• côté $1$ (longueur $a$), centré en $\frac{b}{2}\overrightarrow{w}$, courant selon $+{\overrightarrow{u}}_z$ ;
• côté $2$ (longueur $b$), centré en $\frac{a}{2}{\overrightarrow{u}}_z$, courant selon $-\overrightarrow{w}$ ;
• côté $3$ (longueur $a$), centré en $-\frac{b}{2}\overrightarrow{w}$, courant selon $-{\overrightarrow{u}}_z$ ;
• côté $4$ (longueur $b$), centré en $-\frac{a}{2}{\overrightarrow{u}}_z$, courant selon $+\overrightarrow{w}$.

1) Les quatre forces. Avec ${\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{u}}_x={\overrightarrow{u}}_y$ et $\overrightarrow{w}\wedge {\overrightarrow{u}}_x=-\cos \theta {\overrightarrow{u}}_z$ : $${\overrightarrow{F}}_1=-{\overrightarrow{F}}_3=NIaB{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{F}}_2=-{\overrightarrow{F}}_4=NIbB\cos \theta {\overrightarrow{u}}_z.$$ La résultante est nulle, comme pour tout circuit fermé en champ uniforme.

2) Les moments par rapport à $\Delta$.

Côtés de longueur $b$. ${\overrightarrow{F}}_2$ et ${\overrightarrow{F}}_4$ sont parallèles à l'axe, appliquées en des points de l'axe, et opposées : même droite d'action, aucun couple. Elles tendent seulement à comprimer ou étirer le cadre.

Côtés de longueur $a$. Le moment d'une force uniformément répartie sur un côté parallèle à l'axe est celui de sa résultante appliquée au milieu. Avec $\overrightarrow{w}\wedge {\overrightarrow{u}}_y=-\sin \theta {\overrightarrow{u}}_z$ : $${\overrightarrow{\mathcal{M}}}_1=\frac{b}{2}\overrightarrow{w}\wedge NIaB{\overrightarrow{u}}_y=-\frac{NIabB}{2}\sin \theta {\overrightarrow{u}}_z,$$ $${\overrightarrow{\mathcal{M}}}_3=\left(-\frac{b}{2}\overrightarrow{w}\right)\wedge \left(-NIaB{\overrightarrow{u}}_y\right)={\overrightarrow{\mathcal{M}}}_1.$$ Les deux moments s'ajoutent : ${\Gamma }_z=-NIabB\sin \theta$.

Identification. Avec $\overrightarrow{m}=NIab\overrightarrow{n}$ ($N$ spires d'aire $ab$) : $$\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}=NIabB(\cos \theta {\overrightarrow{u}}_x+\sin \theta {\overrightarrow{u}}_y)\wedge {\overrightarrow{u}}_x=-NIabB\sin \theta {\overrightarrow{u}}_z.$$ $\overrightarrow{\Gamma }=\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}$, de norme $mB|\sin \theta |$ ; le signe moins dit que le couple ramène $\theta$ vers $0$ : il tend à aligner $\overrightarrow{m}$ sur $\overrightarrow{B}$.

3) Indépendance du point. ${\overrightarrow{\mathcal{M}}}_Q={\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O+\overrightarrow{QO}\wedge {\overrightarrow{F}}_{\text{tot}}$, et ${\overrightarrow{F}}_{\text{tot}}=\overrightarrow{0}$ : un système de forces de résultante nulle est un couple, de même moment en tout point. Le résultat vaut pour tout axe parallèle à $\Delta$ — en champ uniforme.

4) Valeurs numériques. $$m=NIab=50\times 0,2\times 0,04\times 0,03=1,2\times 10^{-2}\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2,{\Gamma }_{\max }=mB=1,2\times 10^{-3}\mathrm{N}\mathrm{m},$$ atteint pour $\theta =\pm \pi /2$, quand le plan du cadre contient le champ : une force de $0,04\mathrm{N}$ sur chaque grand côté, à $1,5\mathrm{cm}$ de l'axe. Un aimant d'un centimètre cube ($\approx 1,7\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2$) subirait un couple plus de cent fois plus grand.

5) La puissance.

Par le couple. $\mathcal{P}={\Gamma }_z\omega =-mB\sin \theta \dot{\theta }$.

Par les forces. Le milieu du côté $1$ a la vitesse ${\overrightarrow{v}}_1=\omega {\overrightarrow{u}}_z\wedge \frac{b}{2}\overrightarrow{w}=-\frac{b}{2}\omega \overrightarrow{n}$ (car ${\overrightarrow{u}}_z\wedge \overrightarrow{w}=-\overrightarrow{n}$), le côté $3$ la vitesse opposée ; les côtés $2$ et $4$ ont des forces parallèles à l'axe et des vitesses orthogonales à l'axe, de puissance nulle. Il reste $$\mathcal{P}=2NIaB{\overrightarrow{u}}_y\cdot \left(-\frac{b}{2}\omega \overrightarrow{n}\right)=-NIabB\omega \sin \theta :$$ les deux calculs concordent.

Le signe. Pour $\theta$ compris entre $0$ et $\pi$ ($\sin \theta >0$) : si $\theta$ croît, $\mathcal{P}<0$, le champ s'oppose à la rotation qui éloigne $\overrightarrow{m}$ de $\overrightarrow{B}$ ; si $\theta$ décroît vers $0$, $\mathcal{P}>0$, le champ fournit de l'énergie au cadre qui revient vers l'alignement. On remarque enfin que $\mathcal{P}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-mB\cos \theta \right)$ : le couple dérive de l'énergie potentielle $E_p=-\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B}$, minimale à l'alignement. L'exercice 5 s'en servira.

Ce que l'exercice installe. L'établissement du couple en écrivant les côtés comme des vecteurs : une base attachée au cadre, quatre produits vectoriels, et $\overrightarrow{\Gamma }=\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}$ tombe sans dessin compliqué. Et la puissance $\Gamma \omega$, recoupée par la somme des $\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}$ : deux calculs indépendants qui concordent. Ce cadre en rotation dans un champ uniforme est l'un des deux modèles obligatoires du programme, avec les rails ; on le retrouvera en conversion électromécanique.