La direction du champ sans calcul

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les deux règles de l'énoncé et le principe de Curie : les invariances des causes (les courants) se retrouvent dans les effets (le champ). La stratégie, toujours la même : d'abord les plans (qui donnent la direction), ensuite les invariances (qui donnent les variables). On ne cherche jamais la norme.

Le point délicat, avant tout. Dans un plan de symétrie des charges, $\overrightarrow{E}$ est contenu dans le plan ; dans un plan de symétrie des courants, $\overrightarrow{B}$ lui est perpendiculaire. On le vérifie sur le cas le mieux connu : le plan d'une spire est un plan de symétrie de ses courants (ils y sont contenus), et le champ au centre est le long de l'axe, perpendiculaire au plan. Retenir la règle sur cet exemple évite de la retourner.

a) Le fil infini. Soit $M$ hors du fil. Le plan contenant le fil et $M$ (engendré par ${\overrightarrow{u}}_r$ et ${\overrightarrow{u}}_z$) contient tous les courants : c'est un plan de symétrie, donc $\overrightarrow{B}(M)$ lui est perpendiculaire, porté par ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$. La distribution est invariante par translation selon $(Oz)$ et par rotation autour de $(Oz)$ : $$\overrightarrow{B}(M)=B(r){\overrightarrow{u}}_{\theta }.$$ Les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil : elles tournent autour du courant (main droite : pouce dans le sens du courant).

Ordre de grandeur. $$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 10}{2\pi \times 0,01}=2\times 10^{-4}\mathrm{T},$$ environ dix fois la composante horizontale du champ terrestre ($\approx 2\times 10^{-5}\mathrm{T}$ en France). Une boussole posée à un centimètre du fil est franchement déviée : c'est l'expérience d'Œrsted (1820), qui a lié pour la première fois courant et champ magnétique.

b) La spire, sur son axe. Tout plan contenant l'axe est un plan d'antisymétrie : la symétrie envoie un élément de courant sur un élément de sens opposé à celui qui s'y trouve réellement. $\overrightarrow{B}(M)$ est donc contenu dans chacun de ces plans, dont l'intersection est l'axe : $$\overrightarrow{B}(M)=B_z(z){\overrightarrow{u}}_z.$$ La parité. Le plan de la spire, $z=0$, est un plan de symétrie. Dans une symétrie, $\overrightarrow{B}$ se transforme en « vecteur axial » : sa composante perpendiculaire au plan est conservée d'un point à son symétrique, sa composante parallèle change de signe. Ici $B_z$ est perpendiculaire au plan, donc $B_z(-z)=B_z(z)$ : le champ sur l'axe est une fonction paire de $z$, ce dont le problème se servira. (Cette règle contient la première : en un point du plan, confondu avec son symétrique, la composante parallèle est égale à son opposée, donc nulle.)

c) La bobine longue. On néglige le pas de l'enroulement : les courants sont orthoradiaux. Le plan perpendiculaire à l'axe passant par $M$ est un plan de symétrie : $\overrightarrow{B}(M)$ est porté par ${\overrightarrow{u}}_z$ (les plans contenant l'axe, d'antisymétrie, contiennent bien ${\overrightarrow{u}}_z$). Translation selon l'axe et rotation autour de lui donnent $\overrightarrow{B}(M)=B(r){\overrightarrow{u}}_z$. Les symétries ne disent pas que $B$ ne dépend pas de $r$ : l'uniformité du champ intérieur est un résultat admis.

Ordre de grandeur. $B=4\pi \times 10^{-7}\times 1000\times 1\approx 1,3\times 10^{-3}\mathrm{T}$, une soixantaine de fois le champ terrestre horizontal. Le tesla d'une IRM demande des milliers de spires par mètre et des centaines d'ampères : d'où des bobines supraconductrices, sans effet Joule.

d) Deux fils, courants opposés. Le fil en $x=-a$ porte $I$ selon $+{\overrightarrow{u}}_z$, celui en $x=+a$ porte $I$ selon $-{\overrightarrow{u}}_z$. La symétrie par rapport au plan $x=0$ échange les positions des fils et conserve le sens d'un courant parallèle à ${\overrightarrow{u}}_z$ : l'image du premier fil serait un fil en $x=+a$ parcouru selon $+{\overrightarrow{u}}_z$, alors que le fil réel l'est selon $-{\overrightarrow{u}}_z$. Le plan $x=0$ est d'antisymétrie : $\overrightarrow{B}(M)$ y est contenu. Le plan perpendiculaire à $(Oz)$ passant par $M$ renverse tout courant parallèle à ${\overrightarrow{u}}_z$ : il est aussi d'antisymétrie. $\overrightarrow{B}(M)$ est donc contenu dans deux plans d'intersection la droite de direction ${\overrightarrow{u}}_y$ ; avec l'invariance par translation selon $z$, $$\overrightarrow{B}(M)=B(y){\overrightarrow{u}}_y.$$ Vérification en $O$. Par la main droite, chacun des deux fils y crée un champ selon $+{\overrightarrow{u}}_y$ : les contributions s'ajoutent.

Courants de même sens. Le plan $x=0$ devient un plan de symétrie : $\overrightarrow{B}(M)$ est porté par ${\overrightarrow{u}}_x$, et en $O$ les deux contributions, opposées, s'annulent.

e) Lire une carte. Les lignes sont tangentes au champ, et leur densité mesure son intensité.

• Aimant droit : lignes resserrées près des pôles (champ intense), qui s'écartent quand on s'éloigne (champ faible). Elles ne sont nulle part parallèles et équidistantes : le champ d'un aimant droit n'est uniforme nulle part (seul l'entrefer étroit d'un aimant en U s'en approche).
• Bobine longue : à l'intérieur, lignes parallèles et équidistantes, signature d'un champ uniforme ; à l'extérieur, champ faible.
• Les sources. Vues de l'extérieur, les deux cartes se ressemblent : les lignes sortent par le pôle Nord et rentrent par le pôle Sud. Mais les lignes de champ magnétique ne partent de nulle part : elles se referment, à travers la bobine ou à l'intérieur de l'aimant, du Sud vers le Nord. Une source se repère à ce que les lignes tournent autour d'elle (un fil) ou la traversent (une bobine, un aimant), jamais à un point d'où elles divergeraient.

Ce que l'exercice installe. Le réflexe « plans, puis invariances » : le premier donne la direction, le second les variables — une composante d'une seule variable au lieu de trois fonctions de trois variables. Et la règle propre au champ magnétique, perpendiculaire à un plan de symétrie, contenu dans un plan d'antisymétrie, vérifiée une fois pour toutes sur la spire.