Le canon électromagnétique

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La résultante sur une barre en champ uniforme, $\overrightarrow{F}=I\overrightarrow{\ell }\wedge \overrightarrow{B}$ (avec la valeur moyenne de $B$), la puissance $\mathcal{P}=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}$, le principe fondamental de la dynamique et le théorème de l'énergie cinétique. La stratégie : orienter avec soin, puis enchaîner les grandeurs mécaniques.

1) Les sens. ${\overrightarrow{u}}_x$ est le long des rails, du générateur vers la bouche ; le rail supérieur est en $y=+L/2$, l'inférieur en $y=-L/2$ ; ${\overrightarrow{u}}_z$ sort du plan des rails.

Le champ. Le rail supérieur porte $I$ selon $+{\overrightarrow{u}}_x$ ; en un point situé sous lui, la main droite donne un champ selon $-{\overrightarrow{u}}_z$. Le rail inférieur porte $I$ selon $-{\overrightarrow{u}}_x$ ; en un point au-dessus de lui, son champ est aussi selon $-{\overrightarrow{u}}_z$. Entre les rails, $\overrightarrow{B}=-B{\overrightarrow{u}}_z$.

La force. Dans le projectile, le courant va selon $-{\overrightarrow{u}}_y$ : $$\overrightarrow{F}=IL(-{\overrightarrow{u}}_y)\wedge (-B{\overrightarrow{u}}_z)=ILB{\overrightarrow{u}}_x:$$ le projectile est poussé vers la bouche du canon.

Le sens du courant n'y fait rien. Inverser le courant inverse aussi le champ des rails, proportionnel à $I$ : la force, proportionnelle à $IB$ donc à $I^2$, garde son sens. Avec un champ d'aimant, au contraire, $\overrightarrow{B}$ ne dépend pas de $I$ et la force change de sens avec le courant — c'est ce qui fait vibrer la membrane d'un haut-parleur.

Le point délicat. Le champ des rails est bien un champ subi par le projectile : il est créé par d'autres portions du circuit. Et le circuit entier, lui, ne subit aucune résultante de la part de son propre champ, car les forces qu'exercent ses portions les unes sur les autres sont des forces intérieures, qui se compensent deux à deux : si le projectile est poussé vers l'avant, le reste du circuit l'est vers l'arrière. C'est le recul.

2) Force et accélération. $$F=ILB=1,0\times 10^6\times 0,10\times 10=1,0\times 10^6\mathrm{N},$$ le poids d'une centaine de tonnes. Le principe fondamental de la dynamique, dans le référentiel des rails supposé galiléen (poids et réaction se compensent), donne $$a=\frac{F}{m}=5,0\times 10^5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}\approx 5\times 10^{4}g.$$

3) Vitesse et durée. À accélération constante depuis le repos : $$v_s=\sqrt{2aD}=\sqrt{2\times 5,0\times 10^5\times 10}\approx 3,2\times 10^3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},\tau =\frac{v_s}{a}\approx 6,3\mathrm{ms}.$$ Neuf fois la vitesse du son dans l'air, trois fois celle d'une balle de fusil, atteintes en six millisecondes.

4) Puissance et énergie. Force et vitesse sont colinéaires et de même sens : $$\mathcal{P}(t)=Fv(t)=Fat:$$ la puissance croît linéairement — la force est constante, mais s'exerce sur un projectile de plus en plus rapide. Elle vaut au maximum $F{v}_s\approx 3,2\times 10^9\mathrm{W}$, en moyenne la moitié, $\approx 1,6\times 10^9\mathrm{W}$. Le travail vaut $W=FD=1,0\times 10^7\mathrm{J}$, et le théorème de l'énergie cinétique donne bien $\frac{1}{2}m{v}_s^2=\frac{1}{2}\times 2,0\times (3,16\times 10^3{)}^2\approx 1,0\times 10^7\mathrm{J}$.

Comparaisons. Dix mégajoules : une voiture d'une tonne à $500\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$, ou l'énergie d'environ $2,4\mathrm{kg}$ de TNT. La puissance moyenne dépasse celle d'un réacteur de centrale — pendant six millisecondes.

5) Pourquoi c'est si difficile. Chaque rail est plongé dans le champ ${\mu }_{0}I/(2\pi L)$ de l'autre ; la règle de la main droite et $I\mathrm{d}\overrightarrow{\ell }\wedge \overrightarrow{B}$ montrent que deux courants parallèles opposés se repoussent (de même sens, ils s'attireraient). Les rails s'écartent donc avec la force linéique $$f=\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi L}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times (10^6{)}^2}{2\pi \times 0,10}=2\times 10^6\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1},$$ deux cents tonnes-force par mètre de rail : c'est la même force de Laplace entre les mêmes courants que celle qui pousse le projectile. S'y ajoutent l'effet Joule d'un million d'ampères dans un contact glissant, qui érode les surfaces à chaque tir, et le stockage de plus de dix mégajoules à libérer en quelques millisecondes.

Ce que l'exercice installe. La puissance $\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}$ de la force de Laplace est une puissance mécanique comme une autre : elle se recoupe avec le théorème de l'énergie cinétique, et c'est elle que la conversion électromécanique prélèvera sur le circuit. Et une distinction : champ créé par le courant même qui le subit, force en $I^2$ et de sens fixe ; champ d'aimant, force en $I$ qui change de sens avec lui.