Problème : les bobines de Helmholtz

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'expression donnée du champ d'une bobine sur son axe (le programme exclut Biot et Savart, pas l'exploitation d'une expression fournie), les règles de symétrie de l'exercice 1, la superposition et les développements limités. La stratégie : les symétries d'abord, qui réduisent l'étude au signe d'une seule dérivée seconde ; le calcul ensuite.

1) Symétries. Tout plan contenant l'axe est un plan d'antisymétrie de chaque bobine, donc de l'ensemble : sur l'axe, le champ est contenu dans tous ces plans, donc porté par l'axe, $\overrightarrow{B}=B(z){\overrightarrow{u}}_z$. Le plan médian $z=0$ échange les deux bobines ; parcourues dans le même sens, l'image de chacune est l'autre avec son courant réel : c'est un plan de symétrie. La composante perpendiculaire à ce plan est conservée (exercice 1, b) : $B(-z)=B(z)$.

2) Le champ total. Par superposition, avec $f(u)={\left(R^2+u^2\right)}^{-3/2}$ : $$B(z)=\frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{2}\left[f\left(z-\frac{d}{2}\right)+f\left(z+\frac{d}{2}\right)\right].$$ $f$ étant paire, changer $z$ en $-z$ échange les deux termes : on retrouve la parité.

3) Les dérivées au centre.

La dérivée première. $B$ est paire, sa dérivée est impaire, donc nulle en $0$ : $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}z}(0)=0$ pour tout $d$. Le centre est toujours un point stationnaire ; reste à savoir s'il s'agit d'un maximum, d'un minimum, ou mieux.

La dérivée seconde. On dérive $f$ deux fois : $$f^{\prime }(u)=-3u{\left(R^2+u^2\right)}^{-5/2},$$ $$f^{\prime \prime }(u)=-3{\left(R^2+u^2\right)}^{-5/2}+15u^2{\left(R^2+u^2\right)}^{-7/2}=\frac{3\left(4u^2-R^2\right)}{{\left(R^2+u^2\right)}^{7/2}}.$$ $f^{\prime \prime }$ étant paire, $f^{\prime \prime }(-d/2)=f^{\prime \prime }(d/2)$ et $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}B}{\mathrm{d}{z}^2}(0)=\frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{2}\cdot 2f^{\prime \prime }\left(\frac{d}{2}\right)=\frac{3{\mu }_{0}NI{R}^2\left(d^2-R^2\right)}{{\left(R^2+d^2/4\right)}^{7/2}}.$$ Tous les facteurs sont positifs sauf $d^2-R^2$ : la dérivée seconde au centre est du signe de $d^2-R^2$.

• $d<R$ : maximum au centre ; les deux bosses (chaque bobine donne un champ maximal en son centre) se fondent en une seule.
• $d>R$ : minimum local au centre, entre deux maxima proches des bobines : deux bosses et un creux.
• $d=R$ : la transition entre une bosse et deux ; la courbe est aussi plate que possible au centre.

Le point délicat. Une seule dérivée seconde à calculer : la parité a fait le reste.

4) Le champ au centre. Pour $d=R$, chaque bobine est à la distance $R/2$ du centre : $$B_0=\frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{2}\cdot \frac{2}{{\left(R^2+R^2/4\right)}^{3/2}}=\frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{{\left(\frac{5}{4}{R}^2\right)}^{3/2}}={\left(\frac{4}{5}\right)}^{3/2}\frac{{\mu }_{0}NI}{R}\approx 0,716\frac{{\mu }_{0}NI}{R}.$$ Application numérique. $$B_0=0,7155\times \frac{4\pi \times 10^{-7}\times 100\times 1}{0,10}\approx 9,0\times 10^{-4}\mathrm{T}=0,90\mathrm{mT},$$ environ quarante-cinq fois la composante horizontale du champ terrestre : assez pour la dominer, ou pour la compenser exactement avec un courant d'une vingtaine de milliampères, et une alimentation de laboratoire suffit.

5) L'uniformité.

Les termes absents. $B$ étant paire, son développement ne contient que des puissances paires : ni $z$ ni $z^3$. Le coefficient de $z^2$ est $\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}B}{\mathrm{d}{z}^2}(0)$, nul pour $d=R$. Le premier terme non constant est en $z^4$ : le champ est uniforme à l'ordre trois inclus, et il décroît légèrement quand on s'éloigne du centre (coefficient négatif).

La zone d'uniformité. $$\frac{144}{125}{\left(\frac{z}{R}\right)}^4\le 10^{-3}⟺\frac{|z|}{R}\le {\left(\frac{125\times 10^{-3}}{144}\right)}^{1/4}\approx 0,17.$$ Pour $R=10\mathrm{cm}$ : uniforme au millième près sur $\pm 1,7\mathrm{cm}$, de quoi loger une boussole ou une sonde de Hall. (Le calcul exact donne un écart de $0,97\times 10^{-3}$ en $z=0,17R$ : le développement est excellent.)

Une seule bobine. Au voisinage de son centre, $\frac{B(z)}{B(0)}={\left(1+\frac{z^2}{R^2}\right)}^{-3/2}=1-\frac{3}{2}{\left(\frac{z}{R}\right)}^2+\dots$ : l'écart atteint $10^{-3}$ dès $|z|\approx 0,026R$, une zone six à sept fois plus courte. Tout le gain du second bobinage est d'annuler le terme en $z^2$. Le réglage est délicat : pour $d=1,1R$ ou $0,9R$, l'écart en $z=0,1R$ passe de $1\times 10^{-4}$ à près de $2\times 10^{-3}$.

6) Homogénéité et champ lointain. ${\mu }_0$ s'exprime en $\mathrm{T}\mathrm{m}{\mathrm{A}}^{-1}$, donc ${\mu }_{0}NI/R$ en teslas ($N$ et $(4/5{)}^{3/2}$ sont sans dimension). Au centre, les deux bobines donnent $2\times 0,716\approx 1,43$ fois le champ ${\mu }_{0}NI/(2R)$ d'une seule bobine en son propre centre.

Pour $|z|\gg R$ et $|z|\gg d$, chaque dénominateur se comporte comme $|z{|}^3$ : $$B(z)\approx \frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{2}\cdot \frac{2}{|z{|}^3}=\frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{|z{|}^3}.$$ Le champ décroît comme l'inverse du cube de la distance : vu de loin, l'ensemble n'est plus qu'un dipôle magnétique de moment $m=2\pi NI{R}^2$ (la somme des deux moments), et l'expression s'écrit $\frac{{\mu }_{0}m}{2\pi |z{|}^3}$, la forme du champ d'un dipôle sur son axe — la même décroissance que pour un aimant.

Le résultat établi — les bobines de Helmholtz. Deux bobines plates identiques, coaxiales, parcourues dans le même sens par le même courant et placées à une distance égale à leur rayon, créent au voisinage de leur centre un champ axial $B_0={\left(\frac{4}{5}\right)}^{3/2}\frac{{\mu }_{0}NI}{R}$, uniforme à l'ordre trois inclus : l'écart relatif, en $-\frac{144}{125}(z/R{)}^4$, reste inférieur au millième sur un sixième du rayon de part et d'autre du centre. C'est le dispositif de référence pour réaliser un champ quasi uniforme dans un volume accessible.

Ce que le problème installe. Les symétries avant le calcul : la parité a annulé tous les termes impairs et réduit la question au signe d'une dérivée seconde. L'optimisation par annulation d'un terme de développement limité : on règle le paramètre libre ($d$) pour tuer le premier terme gênant, et l'on gagne un ordre. Et la lecture des cas limites : uniforme au voisinage, dipolaire au loin. Avec l'exercice 5, la boucle est bouclée : ce sont des bobines de Helmholtz qui fournissent le champ connu du magnétomètre à boussole.