Résultante sur un circuit fermé, fil courbé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La force élémentaire, la linéarité de l'intégrale, la bilinéarité du produit vectoriel. La stratégie : sortir $\overrightarrow{B}$ de l'intégrale, ce que permet son uniformité, et seulement elle.

1) Le circuit fermé. Le courant $I$ est le même en tout point (régime stationnaire, pas de dérivation), et $\overrightarrow{B}$ ne dépend pas du point :

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{F}& =\oint I\mathrm{d}\overrightarrow{\ell }\wedge \overrightarrow{B}\\ & =I\left(\oint \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }\right)\wedge \overrightarrow{B}.\end{array}$$

Or $\oint \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }$ est la somme des déplacements élémentaires qui font parcourir le circuit une fois, d'un point $P$ jusqu'à $P$ : c'est $\overrightarrow{PP}=\overrightarrow{0}$. La résultante est nulle.

Le point délicat. L'uniformité est indispensable : dans un champ non uniforme, un circuit fermé subit en général une résultante — c'est ainsi qu'un aimant attire une petite bobine, ou un clou, vers la zone de champ intense.

2) La portion de fil. Le même calcul donne

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{F}& =I\left({\int }_A^C\mathrm{d}\overrightarrow{\ell }\right)\wedge \overrightarrow{B}\\ & =I\overrightarrow{AC}\wedge \overrightarrow{B},\end{array}$$

car la somme des déplacements de $A$ à $C$, quel que soit le chemin, est $\overrightarrow{AC}$. Un fil courbé de $A$ à $C$ subit, en champ uniforme, la même résultante que le segment $[AC]$. Le résultat du cours pour une barre, $\overrightarrow{F}=I\overrightarrow{\ell }\wedge \overrightarrow{B}$, en est le cas particulier.

3) Le demi-cercle. $AC=2a=0,10\mathrm{m}$, et $\overrightarrow{AC}$ (dans le plan) est perpendiculaire à $\overrightarrow{B}$ :

$$F=I\cdot AC\cdot B=3\times 0,10\times 0,2=0,06\mathrm{N},$$

dans le plan, perpendiculairement au diamètre. La somme des normes vaut $\int IB\mathrm{d}\ell =IB\pi a\approx 0,094\mathrm{N}$ ; le rapport est $\frac{2}{\pi }\approx 0,64$. Les forces élémentaires sont radiales : leurs composantes parallèles au diamètre se compensent deux à deux (symétrie par rapport à la médiatrice de $[AC]$), seules les autres s'ajoutent. Homogénéité : $\mathrm{A}\times \mathrm{m}\times \mathrm{T}=\mathrm{N}$.

4) Pas de résultante, mais un couple. Les forces s'exercent en des points différents, et leur moment n'est pas nul en général : sur une spire rectangulaire, deux côtés opposés subissent des forces opposées qui ne sont pas sur la même droite. C'est le couple $\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}$ subi par un cadre, et le principe du moteur. Un champ uniforme ne peut donc que faire tourner un circuit fermé, jamais le déplacer d'ensemble.

5) Champ extérieur, champ propre.

• L'argument mécanique. Les forces entre morceaux d'un même circuit sont intérieures au circuit ; leur résultante est nulle (on l'admet : c'est la forme que prend, pour les actions magnétiques entre courants, le principe des actions réciproques). Un circuit ne se met pas en mouvement en tirant sur lui-même : seul le champ extérieur produit une résultante. (Le champ propre crée en revanche des contraintes intérieures : les spires d'une bobine à fort courant se compriment.)
• L'argument mathématique. Le champ propre d'un fil filiforme diverge sur le fil : ${\mu }_{0}I/(2\pi r)$ tend vers l'infini quand $r$ tend vers zéro. Le champ propre « au point où se trouve l'élément de courant » n'a pas de valeur.

On l'exclut donc par principe, et non parce qu'il serait petit.

Ce que l'exercice installe. En champ uniforme, tout se ramène aux extrémités : $\overrightarrow{F}=I\overrightarrow{AC}\wedge \overrightarrow{B}$, nul pour un circuit fermé, qui ne subit qu'un couple. Et le réflexe « quel est le champ subi ? » : celui des autres sources, jamais celui du conducteur sur lui-même.