Circuits couplés en régime sinusoïdal : l'impédance ramenée

La stratégie. On remplace chaque couplage par ce qu'il produit dans l'autre circuit : une f.é.m. de mutuelle. Le système obtenu est linéaire ; on élimine le courant du secondaire pour voir ce que le générateur « ressent ».

1) Le schéma équivalent et le système. Le flux à travers le primaire est $L_1{i}_1+M{i}_2$, celui à travers le secondaire $L_2{i}_2+M{i}_1$. Le schéma équivalent du primaire est une maille : $e_g$, $R_1$, la bobine $L_1$ en convention récepteur, et un générateur de f.é.m. $-M\frac{\mathrm{d}{i}_2}{\mathrm{d}t}$ qui représente le secondaire ; celui du secondaire : $R_2$, $L_2$ et un générateur de f.é.m. $-M\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}$. En notation complexe, la dérivation devient la multiplication par $j\omega$ :

$$\underline{E}=(R_1+j{L}_1\omega ){\underline{I}}_1+jM\omega {\underline{I}}_2,$$

$$0=jM\omega {\underline{I}}_1+(R_2+j{L}_2\omega ){\underline{I}}_2.$$

2) L'impédance ramenée. La seconde équation donne

$${\underline{I}}_2=-\frac{jM\omega }{R_2+j{L}_2\omega }{\underline{I}}_1,$$

que l'on reporte dans la première :

$$\begin{array}{rl}\underline{E}& =\left(R_1+j{L}_1\omega -\frac{(jM\omega {)}^2}{R_2+j{L}_2\omega }\right){\underline{I}}_1\\ & =\left(R_1+j{L}_1\omega +\frac{M^2{\omega }^2}{R_2+j{L}_2\omega }\right){\underline{I}}_1,\end{array}$$

puisque $j^2=-1$. Donc $\underline{Z}=R_1+j{L}_1\omega +{\underline{Z}}_r$ avec ${\underline{Z}}_r=\frac{M^2{\omega }^2}{R_2+j{L}_2\omega }$.

Interprétation. Pour le générateur, tout se passe comme si le secondaire était remplacé par une impédance ${\underline{Z}}_r$ placée en série dans le primaire : le secondaire est « ramené » au primaire. Aucun fil ne relie les circuits, mais le générateur ressent la charge à travers le flux. Homogénéité : $M\omega$ est une impédance (en ohms), comme $R_2+j{L}_2\omega$ ; leur quotient $(M\omega {)}^2/(R_2+j{L}_2\omega )$ est bien une impédance.

3) Partie réelle, partie imaginaire, puissance. En multipliant par la quantité conjuguée :

$${\underline{Z}}_r=\frac{M^2{\omega }^2(R_2-j{L}_2\omega )}{R_2^2+L_2^2{\omega }^2},\mathrm{Re}{\underline{Z}}_r=\frac{M^2{\omega }^2{R}_2}{R_2^2+L_2^2{\omega }^2}>0,\mathrm{Im}{\underline{Z}}_r=-\frac{M^2{\omega }^2{L}_2\omega }{R_2^2+L_2^2{\omega }^2}<0.$$

La puissance moyenne absorbée par une impédance parcourue par un courant d'amplitude $|{\underline{I}}_1|$ vaut $\frac{1}{2}\mathrm{Re}(\underline{Z})|{\underline{I}}_1{|}^2$ ; pour la partie ramenée :

$${\mathcal{P}}_r=\frac{1}{2}\frac{M^2{\omega }^2{R}_2}{R_2^2+L_2^2{\omega }^2}|{\underline{I}}_1{|}^2.$$

Or, d'après le 2), $|{\underline{I}}_2{|}^2=\frac{M^2{\omega }^2}{R_2^2+L_2^2{\omega }^2}|{\underline{I}}_1{|}^2$, et la puissance Joule moyenne dans $R_2$ vaut $\frac{1}{2}{R}_2|{\underline{I}}_2{|}^2$ : c'est exactement ${\mathcal{P}}_r$. Le bilan est fermé : la puissance que le générateur cède à la partie réelle de l'impédance ramenée est celle que la charge du secondaire dissipe. Les bobines, elles, ne consomment rien en moyenne (leur énergie est périodique).

La partie imaginaire négative retranche à la réactance $L_1\omega$ : la présence du secondaire diminue l'inductance apparente du primaire. C'est Lenz : le courant induit dans le secondaire crée un flux qui s'oppose à celui du primaire et en réduit le flux total.

4) Cas limites et maximum.

• Secondaire ouvert, $R_2\to \infty$ : ${\underline{Z}}_r\to 0$, ${\underline{I}}_2\to 0$, et $\underline{Z}=R_1+j{L}_1\omega$ — le primaire ignore le secondaire, qui ne peut porter aucun courant.
• Secondaire en court-circuit, $R_2\to 0$ : ${\underline{Z}}_r\to \frac{M^2{\omega }^2}{j{L}_2\omega }=-j\frac{M^2}{L_2}\omega$, d'où $$\underline{Z}=R_1+j{L}_1\omega \left(1-\frac{M^2}{L_1{L}_2}\right)=R_1+j{L}_1\omega (1-k^2).$$ L'inductance apparente est réduite du facteur $1-k^2$, et rien n'est dissipé au secondaire (la partie réelle s'annule). En influence totale, $k=1$ : l'inductance apparente s'annule, le secondaire court-circuité expulse tout le flux.
• Le maximum. À $|{\underline{I}}_1|$ fixé, ${\mathcal{P}}_r$ est proportionnelle à $g(R_2)=\frac{R_2}{R_2^2+L_2^2{\omega }^2}$. Sa dérivée, $\frac{L_2^2{\omega }^2-R_2^2}{(R_2^2+L_2^2{\omega }^2{)}^2}$, s'annule et change de signe pour $R_2=L_2\omega$ : la puissance transférée est maximale quand la résistance du secondaire égale sa réactance, et vaut alors $$\begin{array}{rl}{\mathcal{P}}_{\max }& =\frac{1}{2}\cdot \frac{M^2{\omega }^2}{2L_2\omega }|{\underline{I}}_1{|}^2\\ & =\frac{M^2\omega |{\underline{I}}_1{|}^2}{4L_2}.\end{array}$$ Le transfert est nul aux deux extrémités — secondaire ouvert (pas de courant), secondaire en court-circuit (pas de résistance où dissiper) — et passe par un maximum entre les deux.

5) a) Le badge sans contact. La pulsation vaut $\omega =2\pi \times 13,56\times 10^6=8,52\times 10^7\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $M\omega =0,10\times 10^{-6}\times 8,52\times 10^7=8,5\Omega$. La f.é.m. induite dans le badge a pour amplitude

$$|{\underline{E}}_2|=M\omega |{\underline{I}}_1|=8,5\times 0,30\approx 2,6\mathrm{V},$$

de l'ordre de ce qu'il faut pour alimenter une puce. La puissance maximale transférable vaut

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{P}}_{\max }& =\frac{M^2\omega |{\underline{I}}_1{|}^2}{4L_2}\\ & =\frac{(1,0\times 10^{-7}{)}^2\times 8,52\times 10^7\times 0,30^2}{4\times 2,0\times 10^{-6}}\approx 9,6\times 10^{-3}\mathrm{W},\end{array}$$

une dizaine de milliwatts, largement assez pour une puce d'identification. Pourquoi si près. La mutuelle de deux petites bobines décroît très vite avec la distance (comme son inverse au cube à grande distance, admis) : à quelques centimètres, $M$ est divisée par dix, la f.é.m. tombe à quelques dixièmes de volt, la puissance (en $M^2$) est divisée par cent, et la puce ne démarre plus. Pourquoi une fréquence élevée. La f.é.m. est proportionnelle à $\omega$ : à $50$ Hz, elle serait de l'ordre de la dizaine de microvolts.

5) b) La plaque à induction. Le fond de la casserole est un secondaire massif fermé sur sa propre résistance. Sans casserole ($R_2\to \infty$), l'électronique voit $R_1+j{L}_1\omega$, sans partie résistive ramenée : elle le détecte et coupe la chauffe. Avec une casserole, d'après le 4), la puissance est faible si la résistance du fond est très petite devant sa réactance : un fond en aluminium ou en cuivre, très bon conducteur, chauffe mal. Un fond en acier, plus résistif et ferromagnétique (il canalise le flux, d'où un $M$ plus grand), reçoit beaucoup plus. Le verre, isolant, ne chauffe que par contact.

Ce que l'exercice installe. Établir le système d'équations en régime sinusoïdal forcé de deux circuits couplés à partir de schémas équivalents, et le réduire à une impédance ramenée. Lire la puissance transférée dans sa partie réelle, l'effet de Lenz dans sa partie imaginaire, et trouver le maximum de transfert. C'est le langage de toute la recharge sans fil.