Énergie de deux circuits couplés

1) Les deux équations. Le flux à travers le circuit 1 est la somme de son flux propre et du flux envoyé par le circuit 2 : ${\Phi }_1=L_1{i}_1+M{i}_2$. La f.é.m. induite dans le circuit 1, orientée dans le sens de $i_1$, est $e_1=-\frac{\mathrm{d}{\Phi }_1}{\mathrm{d}t}$. Le schéma équivalent du circuit 1 est une maille comprenant le générateur $E_1$, le générateur induit $e_1$ et la résistance $R_1$ ; la loi des mailles s'écrit $E_1+e_1=R_1{i}_1$, soit $$E_1=R_1{i}_1+L_1\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}{i}_2}{\mathrm{d}t},E_2=R_2{i}_2+L_2\frac{\mathrm{d}{i}_2}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}.$$ Les circuits sont fixes et les inductances constantes : on a pu les sortir des dérivées.

2) Le bilan de puissance. Multiplions et ajoutons : $$E_1{i}_1+E_2{i}_2=R_1{i}_1^2+R_2{i}_2^2+L_1{i}_1\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}+L_2{i}_2\frac{\mathrm{d}{i}_2}{\mathrm{d}t}+M\left(i_1\frac{\mathrm{d}{i}_2}{\mathrm{d}t}+i_2\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}\right).$$ Le point clé est le dernier terme : grâce à la symétrie de la mutuelle (le même $M$ dans les deux équations), la parenthèse est exactement la dérivée du produit $i_1{i}_2$. Les autres termes sont des dérivées de carrés : $L_1{i}_1\frac{\mathrm{d}{i}_1}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}{L}_1{i}_1^2\right)$. On obtient donc $$\underset{\text{fournie par les geˊneˊrateurs}}{\underbrace{E_1{i}_1+E_2{i}_2}}=\underset{\text{dissipeˊe par effet Joule}}{\underbrace{R_1{i}_1^2+R_2{i}_2^2}}+\underset{\text{variation de l’eˊnergie magneˊtique}}{\underbrace{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}{L}_1{i}_1^2+M{i}_1{i}_2+\frac{1}{2}{L}_2{i}_2^2\right)}}.$$ La puissance fournie par les générateurs se partage entre l'effet Joule et la variation d'une énergie stockée, $W$, qui ne dépend que de l'état (les courants) : c'est l'énergie magnétique du système. Elle contient l'énergie propre de chaque bobine et un terme d'interaction $M{i}_1{i}_2$, de signe quelconque.

3) La positivité et l'inégalité. Si $i_2=0$, $W=\frac{1}{2}{L}_1{i}_1^2\ge 0$ sans condition. Si $i_2\ne 0$, posons $x=i_1/i_2$ : $$W=\frac{i_2^2}{2}\left(L_1{x}^2+2Mx+L_2\right).$$ $W$ est positive pour tous les courants si et seulement si le trinôme $L_1{x}^2+2Mx+L_2$, de coefficient dominant $L_1>0$, est positif pour tout réel $x$, c'est-à-dire si et seulement si son discriminant réduit est négatif ou nul : $$M^2-L_1{L}_2\le 0⟺|M|\le \sqrt{L_1{L}_2}⟺k\le 1.$$ Le cas d'égalité. $M^2=L_1{L}_2$ si et seulement si le trinôme a une racine double, $x_0=-\frac{M}{L_1}$ : il existe alors des courants non nuls, dans le rapport $\frac{i_1}{i_2}=-\frac{M}{L_1}$, pour lesquels $W=0$. Or $W$ est l'intégrale de la densité $\frac{B^2}{2{\mu }_0}$ sur tout l'espace : $W=0$ impose $B=0$ partout. Le champ de l'un compense celui de l'autre en tout point, ce qui exige que chaque ligne de champ de l'un traverse toutes les spires de l'autre : c'est l'influence totale de l'exercice 6. Avec les bobines de l'exercice 6, la condition s'écrit $\frac{i_1}{i_2}=-\frac{N_1{N}_2}{N_1^2}=-\frac{N_2}{N_1}$, soit $$N_1{i}_1+N_2{i}_2=0:$$ les « ampère-tours » se compensent. On retrouvera exactement cette relation dans le problème du transformateur.

4) Retour à $L_{-}$. L'association en série « opposée » correspond à $i_1=i$ et $i_2=-i$ (même courant, bobine 2 parcourue à contresens de son orientation), soit $x=-1$ : $$W=\frac{i^2}{2}(L_1-2M+L_2)=\frac{1}{2}{L}_{-}{i}^2\ge 0.$$ C'est le cas particulier annoncé. Et l'inégalité générale est plus forte : par l'inégalité $\sqrt{L_1{L}_2}\le \frac{L_1+L_2}{2}$ (moyenne géométrique et moyenne arithmétique), $$L_{-}=L_1+L_2-2M\ge L_1+L_2-2\sqrt{L_1{L}_2}={\left(\sqrt{L_1}-\sqrt{L_2}\right)}^2\ge 0.$$ Vérification numérique avec $L_1=40$ mH, $L_2=10$ mH, $M=17,5$ mH : $M^2=(17,5{)}^2=306\mathrm{m}{\mathrm{H}}^2\le L_1{L}_2=400\mathrm{m}{\mathrm{H}}^2$, et $L_{-}=40+10-35=15\mathrm{mH}\ge (\sqrt{40}-\sqrt{10}{)}^2=10\mathrm{mH}$. Tout est cohérent.

Ce que l'exercice installe. Le bilan de puissance d'un système de circuits couplés : multiplier chaque équation par son courant et reconnaître des dérivées. La symétrie de $M$ est nécessaire pour que le bilan ait un sens. Et une méthode générale : une énergie positive pour tous les états donne une inégalité sur les coefficients — ici $k\le 1$, avec égalité exactement en influence totale.